Номер 190, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 190, страница 57.

Условие.

190. Найдите все пары целых чисел, являющиеся решениями системы уравнений:

а)

$\begin{cases} xy = 4, \\ x^3 - y^3 = 63; \end{cases}$

б)

$\begin{cases} xy + x = 5, \\ xy + x = \left(\frac{x+y+1}{2}\right)^2 - \left(\frac{x-y-1}{2}\right)^2. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy = 4 \\ x^3 - y^3 = 63 \end{cases} $

По условию, $x$ и $y$ являются целыми числами. Из первого уравнения $xy = 4$ следует, что $x$ и $y$ являются целочисленными делителями числа 4. Перечислим все возможные пары таких чисел $(x, y)$:

1. $(1, 4)$

2. $(4, 1)$

3. $(-1, -4)$

4. $(-4, -1)$

5. $(2, 2)$

6. $(-2, -2)$

Далее, проверим, какая из этих пар удовлетворяет второму уравнению $x^3 - y^3 = 63$ путем подстановки:

1. Для пары $(1, 4)$: $1^3 - 4^3 = 1 - 64 = -63$. Это не равно 63, следовательно, пара не является решением.

2. Для пары $(4, 1)$: $4^3 - 1^3 = 64 - 1 = 63$. Это равенство верно, следовательно, пара $(4, 1)$ является решением.

3. Для пары $(-1, -4)$: $(-1)^3 - (-4)^3 = -1 - (-64) = -1 + 64 = 63$. Это равенство верно, следовательно, пара $(-1, -4)$ является решением.

4. Для пары $(-4, -1)$: $(-4)^3 - (-1)^3 = -64 - (-1) = -64 + 1 = -63$. Это не равно 63, следовательно, пара не является решением.

5. Для пары $(2, 2)$: $2^3 - 2^3 = 8 - 8 = 0$. Это не равно 63, следовательно, пара не является решением.

6. Для пары $(-2, -2)$: $(-2)^3 - (-2)^3 = -8 - (-8) = 0$. Это не равно 63, следовательно, пара не является решением.

Таким образом, система имеет две пары целых решений.

Ответ: $(4, 1)$, $(-1, -4)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy + x = 5 \\ xy + x = \left(\frac{x+y+1}{2}\right)^2 - \left(\frac{x-y-1}{2}\right)^2 \end{cases} $

Рассмотрим второе уравнение системы. Упростим его правую часть, применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Пусть $a = \frac{x+y+1}{2}$ и $b = \frac{x-y-1}{2}$.

Найдем $a-b$ и $a+b$:

$a - b = \frac{x+y+1}{2} - \frac{x-y-1}{2} = \frac{(x+y+1) - (x-y-1)}{2} = \frac{x+y+1-x+y+1}{2} = \frac{2y+2}{2} = y+1$

$a + b = \frac{x+y+1}{2} + \frac{x-y-1}{2} = \frac{(x+y+1) + (x-y-1)}{2} = \frac{x+y+1+x-y-1}{2} = \frac{2x}{2} = x$

Тогда правая часть второго уравнения равна произведению $(a-b)(a+b) = (y+1)x = xy + x$.

Второе уравнение системы принимает вид $xy + x = xy + x$. Это тождество, которое верно для любых значений $x$ и $y$. Следовательно, решениями исходной системы являются все решения первого уравнения.

Найдем все целые решения уравнения $xy + x = 5$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(y+1) = 5$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $x$ и $(y+1)$ должны быть целыми делителями числа 5. Делителями числа 5 являются числа $1, -1, 5, -5$.

Рассмотрим все возможные случаи:

1. Если $x=1$, то $y+1=5$, откуда $y=4$. Получаем решение $(1, 4)$.

2. Если $x=-1$, то $y+1=-5$, откуда $y=-6$. Получаем решение $(-1, -6)$.

3. Если $x=5$, то $y+1=1$, откуда $y=0$. Получаем решение $(5, 0)$.

4. Если $x=-5$, то $y+1=-1$, откуда $y=-2$. Получаем решение $(-5, -2)$.

Мы нашли все пары целых чисел, удовлетворяющие системе.

Ответ: $(1, 4)$, $(-1, -6)$, $(5, 0)$, $(-5, -2)$.