Номер 188, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 188, страница 57.

Условие.

188. Решите систему уравнений, используя способ деления левых и правых частей уравнений системы:

a)

$\begin{cases} x^3y - x^2y = 50, \\ xy - y = 2; \end{cases}$

б)

$\begin{cases} 2y^2 - 3xy + y = 4, \\ 2xy - 3x^2 + x = 2. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^3y - x^2y = 50 \\ xy - y = 2 \end{cases} $.

Преобразуем оба уравнения, вынеся общие множители за скобки.

В первом уравнении: $x^2y(x-1) = 50$.

Во втором уравнении: $y(x-1) = 2$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} x^2y(x-1) = 50 \\ y(x-1) = 2 \end{cases} $

Так как правая часть второго уравнения равна 2 (не равна нулю), то и его левая часть $y(x-1)$ не равна нулю. Это значит, что $y \neq 0$ и $x \neq 1$. Это позволяет нам разделить первое уравнение системы на второе почленно.

$ \frac{x^2y(x-1)}{y(x-1)} = \frac{50}{2} $

После сокращения на общий ненулевой множитель $y(x-1)$ получаем:

$ x^2 = 25 $

Отсюда находим два возможных значения для $x$: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Теперь для каждого значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, подставив его во второе, более простое уравнение $y(x-1)=2$.

1) При $x_1 = 5$ имеем:
$y(5-1) = 2$
$4y = 2$
$y_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Таким образом, первая пара решений: $(5; \frac{1}{2})$.

2) При $x_2 = -5$ имеем:
$y(-5-1) = 2$
$-6y = 2$
$y_2 = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$

Таким образом, вторая пара решений: $(-5; -\frac{1}{3})$.

Ответ: $(5; \frac{1}{2}), (-5; -\frac{1}{3})$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2y^2 - 3xy + y = 4 \\ 2xy - 3x^2 + x = 2 \end{cases} $.

Вынесем общие множители за скобки в левых частях обоих уравнений:

$ \begin{cases} y(2y - 3x + 1) = 4 \\ x(2y - 3x + 1) = 2 \end{cases} $

Правые части обоих уравнений не равны нулю. Из второго уравнения $x(2y - 3x + 1) = 2$ следует, что ни один из множителей в левой части не равен нулю, то есть $x \neq 0$ и $2y - 3x + 1 \neq 0$. Это позволяет нам разделить первое уравнение на второе.

$ \frac{y(2y - 3x + 1)}{x(2y - 3x + 1)} = \frac{4}{2} $

Сократим общий ненулевой множитель $(2y - 3x + 1)$:

$ \frac{y}{x} = 2 $

Отсюда получаем соотношение между переменными: $y = 2x$.

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение исходной системы $2xy - 3x^2 + x = 2$:

$ 2x(2x) - 3x^2 + x = 2 $

$ 4x^2 - 3x^2 + x - 2 = 0 $

$ x^2 + x - 2 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 $

Найдем корни уравнения:

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} $

$ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 $

$ x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 $

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$ по формуле $y = 2x$.

1) Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 2 \cdot 1 = 2$.
Первая пара решений: $(1, 2)$.

2) Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.
Вторая пара решений: $(-2, -4)$.

Ответ: $(1, 2), (-2, -4)$.