Вопросы, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

7. Основные понятия и правила комбинаторики. II. Элементы комбинаторики - страница 67.

Условие.

1. Что называется комбинаторикой?

2. Объясните понятие комбинаторной задачи.

3. Какая схема называется графом?

4. Объясните правило суммы на примере решения комбинаторной задачи.

5. Объясните правило произведения на примере решения комбинаторной задачи.

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Что называется комбинаторикой?

Комбинаторика — это раздел дискретной математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Основная задача комбинаторики — подсчёт количества различных конфигураций (комбинаций), которые можно составить из элементов исходного множества.

Ключевые понятия комбинаторики включают в себя:

• Перестановки: комбинации, отличающиеся друг от друга порядком расположения элементов.

• Размещения: комбинации, в которых важен и состав выбранных элементов, и их порядок.

• Сочетания: комбинации, в которых важен только состав выбранных элементов, а порядок не имеет значения.

Комбинаторика отвечает на вопросы вида «сколькими способами...», «сколько вариантов...», «возможно ли составить...» и т.п.

Ответ: Комбинаторика — это раздел математики, посвящённый решению задач, связанных с выбором и расположением элементов в конечных множествах.

2. Объясните понятие комбинаторной задачи.

Комбинаторная задача — это задача, в которой требуется найти количество или перечислить все возможные способы расположения, выбора или распределения объектов, которые удовлетворяют определённым условиям. Суть такой задачи заключается в поиске числа комбинаций, образованных из элементов заданного конечного множества.

Типичные вопросы, на которые отвечают при решении комбинаторных задач:

• Сколькими способами можно выбрать несколько объектов из группы?

• Сколькими способами можно расставить несколько объектов в ряд?

• Сколько существует различных путей между двумя точками в графе?

Например, задача «Сколькими способами можно составить расписание из 5 разных уроков на один день?» является комбинаторной, так как требует подсчета всех возможных упорядоченных наборов (перестановок) из 5 элементов.

Ответ: Комбинаторная задача — это задача на подсчёт количества различных способов выбора или расположения элементов из конечного множества по заданным правилам.

3. Какая схема называется графом?

Графом называется схема, состоящая из набора точек, называемых вершинами, и линий, соединяющих некоторые пары этих точек, называемых рёбрами. Граф является удобным способом наглядного представления отношений между объектами.

Формально граф $G$ — это упорядоченная пара $G=(V, E)$, где:

• $V$ — это непустое множество вершин (nodes).

• $E$ — это множество рёбер (edges), которые представляют собой пары вершин из $V$.

Например, если представить города в виде вершин, а дороги, соединяющие их, в виде рёбер, то полученная схема (карта дорог) будет являться графом. Графы используются для моделирования множества систем и процессов в информатике, логистике, биологии и других областях.

Ответ: Граф — это схема, состоящая из вершин (точек) и рёбер (линий), соединяющих пары этих вершин.

4. Объясните правило суммы на примере решения комбинаторной задачи.

Правило суммы в комбинаторике гласит: если некоторый объект А можно выбрать $m$ способами, а другой объект Б можно выбрать $n$ способами, причем выборы объектов А и Б являются взаимоисключающими (то есть нельзя выбрать одновременно и А, и Б), то выбор «либо А, либо Б» можно осуществить $m + n$ способами.

Пример задачи:

В вазе лежат 9 яблок и 6 груш. Сколькими способами можно выбрать один фрукт?

Решение:

1. Выбрать яблоко (объект А) можно 9 способами (так как яблок 9). Здесь $m = 9$.

2. Выбрать грушу (объект Б) можно 6 способами (так как груш 6). Здесь $n = 6$.

3. Выбор яблока и выбор груши — это взаимоисключающие события, так как, выбрав один фрукт, мы не можем одновременно выбрать и яблоко, и грушу. Нам нужно выбрать либо яблоко, либо грушу.

4. Согласно правилу суммы, общее количество способов выбрать один фрукт равно сумме способов выбора каждого вида фруктов: $9 + 6 = 15$.

Таким образом, существует 15 способов выбрать один фрукт из вазы.

Ответ: Правило суммы применяется, когда нужно выбрать один из нескольких взаимоисключающих вариантов. Если один вариант можно выбрать $m$ способами, а другой — $n$ способами, то выбрать «либо первый, либо второй» можно $m+n$ способами. В примере с 9 яблоками и 6 грушами выбрать один фрукт можно $9+6=15$ способами.

5. Объясните правило произведения на примере решения комбинаторной задачи.

Правило произведения (или правило умножения) в комбинаторике гласит: если некоторое действие состоит из двух последовательных этапов, и первый этап можно выполнить $m$ способами, а после каждого такого выбора второй этап можно выполнить $n$ способами, то всё действие целиком можно выполнить $m \times n$ способами.

Пример задачи:

В столовой есть 3 вида супа и 5 видов второго блюда. Сколькими способами можно составить обед из одного супа и одного второго блюда?

Решение:

1. Выбор обеда состоит из двух последовательных этапов: выбор супа и выбор второго блюда.

2. Первый этап (выбор супа) можно осуществить 3 способами. Здесь $m = 3$.

3. После того как суп выбран, второй этап (выбор второго блюда) можно осуществить 5 способами. Важно, что для каждого из 3 супов есть 5 вариантов второго блюда. Здесь $n = 5$.

4. Согласно правилу произведения, общее количество способов составить обед равно произведению числа способов выбора на каждом этапе: $3 \times 5 = 15$.

Таким образом, можно составить 15 различных вариантов обеда.

Ответ: Правило произведения применяется, когда действие состоит из нескольких последовательных этапов. Если первый этап можно выполнить $m$ способами, а второй — $n$ способами, то всё действие можно выполнить $m \times n$ способами. В примере с 3 супами и 5 вторыми блюдами составить обед можно $3 \times 5 = 15$ способами.