Найдите в интернете, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - страница 61.

Условие.

Найдите, пользуясь Интернетом:

а) сведения о биографии Диофанта и его математическом наследии;

б) решение какого-либо неопределенного уравнения из «Арифметики» Диофанта;

в) сведения о биографии Гипатии и ее вкладе в развитие математической науки;

г) информацию о практическом применении неравенств о средних (арифметическом, геометрическом, гармоническом и квадратичном).

Решение 2 (rus).

а) сведения о биографии Диофанта и его математическом наследии;

Диофант Александрийский — древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н.э. в Александрии (римский Египет). О его жизни известно крайне мало, в основном благодаря стихотворной задаче-эпитафии, которая, согласно преданию, была начертана на его надгробии. Эта задача позволяет вычислить продолжительность его жизни.

Текст эпитафии гласит: «Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Седьмую же часть своей жизни провел неженатым. Пять лет прошло — и сынком он осчастливился вдруг. Сыну судьба половину лишь жизни прекрасной и светлой дала на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился».

Если обозначить продолжительность жизни Диофанта как $x$, то можно составить уравнение: $x = \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4$

Решая это уравнение, получаем: $x - \frac{x}{6} - \frac{x}{12} - \frac{x}{7} - \frac{x}{2} = 9$

Приводя дроби к общему знаменателю (84), имеем: $\frac{84x - 14x - 7x - 12x - 42x}{84} = 9$

$\frac{9x}{84} = 9$

$x = 84$

Таким образом, Диофант прожил 84 года.

Математическое наследие:

Главным трудом Диофанта является «Арифметика» — серия книг (из 13 до нас дошли 6 на греческом и 4 в арабском переводе), представляющая собой сборник задач, в которых требуется найти рациональные решения для неопределённых полиномиальных уравнений.

Основные вклады Диофанта:

1. Диофантовы уравнения: Он первым систематически исследовал уравнения с несколькими переменными, для которых нужно найти целочисленные или рациональные решения. Область математики, занимающаяся этим, теперь называется диофантовым анализом.

2. Зачатки алгебраической символики: Диофант сделал важный шаг от словесной алгебры к символьной. Он ввел сокращения и символы для обозначения неизвестной величины и её степеней, а также для операций вычитания и знака равенства. Это значительно упростило запись и решение уравнений.

3. Влияние на математику: Работы Диофанта оказали огромное влияние на развитие теории чисел. Именно на полях своего экземпляра «Арифметики» Диофанта французский математик Пьер де Ферма сформулировал свою знаменитую Великую теорему.

Ответ: Диофант Александрийский — греческий математик III века, автор трактата «Арифметика», в котором он заложил основы теории диофантовых уравнений и ввёл элементы алгебраической символики. Согласно эпитафии, он прожил 84 года.

б) решение какого-либо неопределенного уравнения из «Арифметики» Диофанта;

Рассмотрим одну из самых известных задач из «Арифметики» (Книга II, задача 8): «Данный квадрат разложить на два квадрата». Это задача о нахождении рациональных решений уравнения $x^2 + y^2 = a^2$ для заданного $a$.

Пусть данный квадрат равен 16, то есть $a^2 = 16$. Нам нужно найти два числа, $x$ и $y$, такие что $x^2 + y^2 = 16$.

Метод Диофанта заключается в следующем. Пусть один из искомых квадратов будет $x^2$. Тогда второй квадрат должен быть равен $16 - x^2$. Чтобы это выражение было квадратом, его корень должен быть рациональным числом.

Диофант предлагает представить корень из $16 - x^2$ в виде линейного выражения от $x$, например, $kx - 4$, где $k$ — произвольное рациональное число, а 4 — это корень из 16. Сам Диофант в своем примере выбрал $k=2$.

Итак, положим, что корень из $16 - x^2$ равен $2x - 4$.

Тогда $16 - x^2 = (2x - 4)^2$.

Раскроем скобки: $16 - x^2 = 4x^2 - 16x + 16$

Упростим уравнение: $-x^2 = 4x^2 - 16x$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону: $5x^2 = 16x$

Поскольку $x$ не может быть нулем (иначе решение тривиально), мы можем разделить обе части на $x$: $5x = 16$, откуда $x = \frac{16}{5}$.

Мы нашли одно из чисел. Теперь найдем второе, $y$. Его квадрат равен $y^2 = 16 - x^2$.

$y^2 = 16 - (\frac{16}{5})^2 = 16 - \frac{256}{25} = \frac{16 \cdot 25 - 256}{25} = \frac{400 - 256}{25} = \frac{144}{25}$.

Следовательно, $y = \sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{12}{5}$.

Таким образом, мы разложили 16 на сумму двух квадратов: $16 = (\frac{16}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2$.

Ответ: Задача из «Арифметики» по разложению квадрата 16 на сумму двух квадратов решается методом Диофанта и дает результат $16 = (\frac{16}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2$.

в) сведения о биографии Гипатии и ее вкладе в развитие математической науки;

Гипатия Александрийская (около 350-370 – 415 гг. н.э.) — философ-неоплатоник, математик и астроном, жившая в Александрии (Египет). Она была дочерью известного ученого Теона Александрийского, который дал ей блестящее образование. Гипатия стала главой школы неоплатонизма в Александрии около 400 года, где преподавала философию и математику. Она пользовалась огромным уважением современников за свой интеллект, ораторское искусство и мудрость.

Жизнь Гипатии оборвалась трагически. В 415 году она была жестоко убита толпой христианских фанатиков. Ее убийство было следствием острого политического конфликта между префектом (губернатором) Александрии Орестом, другом и учеником Гипатии, и епископом Кириллом. Гипатия, как влиятельная фигура, поддерживавшая Ореста, и символ «языческой» учености, стала мишенью в этой борьбе за власть.

Вклад в развитие математики:

Поскольку ни одна из работ Гипатии не сохранилась в оригинале, о ее вкладе мы знаем из свидетельств других авторов. Ее деятельность была сосредоточена в основном на комментировании и преподавании классических математических трудов, делая их доступными для своих учеников.

1. Комментарии к «Арифметике» Диофанта: Считается, что Гипатия написала комментарий к труду Диофанта, разъясняя его сложные методы. Возможно, именно благодаря ее работе «Арифметика» сохранилась и дошла до последующих поколений.

2. Комментарии к «Коническим сечениям» Аполлония Пергского: Она также комментировала фундаментальный труд о кривых второго порядка (эллипсах, параболах, гиперболах), упрощая его для понимания.

3. Работы по астрономии: Гипатия помогала своему отцу Теону в работе над комментарием к «Альмагесту» Птолемея — главному астрономическому труду античности. Также ей приписывают создание астрономических таблиц.

Гипатия известна не столько оригинальными открытиями, сколько своей ролью как выдающегося педагога и хранителя научного знания в эпоху упадка античной цивилизации. Она является первой женщиной-математиком, чья жизнь и деятельность достаточно хорошо задокументированы, и стала символом науки, мудрости и мученичества во имя философии.

Ответ: Гипатия — женщина-ученый из Александрии (IV-V вв.), философ, математик и астроном. Ее основной вклад заключался в комментировании и популяризации трудов великих математиков прошлого (Диофанта, Аполлония), что способствовало сохранению античных знаний.

г) информацию о практическом применении неравенств о средних (арифметическом, геометрическом, гармоническом и квадратичном).

Неравенства, связывающие различные виды средних величин, имеют широкое практическое применение в науке, технике и экономике. Для набора положительных чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$ эти средние (гармоническое СГ, геометрическое СГеом, арифметическое СА и квадратичное СК) связаны общим неравенством: $СГ \le СГеом \le СА \le СК$.

1. Среднее арифметическое (СА) и среднее геометрическое (СГеом): $СГеом \le СА$

Это неравенство широко используется в задачах на оптимизацию. Например, чтобы найти прямоугольник максимальной площади при заданном периметре. Пусть стороны прямоугольника $a$ и $b$, периметр $P=2(a+b)$ — константа. Площадь $S=ab$. По неравенству о среднем арифметическом и геометрическом: $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$. Подставляя известные величины, получаем $\sqrt{S} \le \frac{P/2}{2} = \frac{P}{4}$. Максимальная площадь достигается при равенстве, то есть когда $a=b$, что соответствует квадрату. В финансах среднее геометрическое используется для расчета средней годовой доходности сложных процентов (CAGR), так как оно, в отличие от арифметического, корректно учитывает эффект капитализации.

2. Среднее гармоническое (СГ)

Среднее гармоническое используется для усреднения величин, обратных к измеряемым, таких как скорости или производительности. Например, если автомобиль проехал половину пути со скоростью $v_1$, а вторую половину со скоростью $v_2$, его средняя скорость на всем пути будет равна не среднему арифметическому, а среднему гармоническому этих скоростей: $\bar{v} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$. В физике при расчете общего сопротивления $R_{общ}$ резисторов, соединенных параллельно, используется формула, основанная на среднем гармоническом: $\frac{1}{R_{общ}} = \sum \frac{1}{R_i}$.

3. Среднее квадратичное (СК)

Среднее квадратичное (также известное как RMS — Root Mean Square) имеет ключевое значение в электротехнике и физике для описания величины колеблющихся сигналов. Например, действующее (эффективное) значение переменного тока — это такое значение постоянного тока, которое выделяет в проводнике то же количество теплоты. Для синусоидального тока с амплитудой $I_{max}$ действующее значение тока равно $I_{эфф} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$, что является средним квадратичным значением функции тока за период. В статистике стандартное отклонение, мера разброса данных, вычисляется как среднее квадратичное отклонений от среднего арифметического.

Ответ: Неравенства о средних применяются для решения задач на оптимизацию (СА-СГеом), расчета средней скорости и сопротивления в физике (СГ), а также для определения эффективного значения переменного тока и в статистике (СК).