Вопросы, страница 42 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Неравенства с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - страница 42.

Условие.

1. Приведите примеры линейного и нелинейного неравенств с двумя переменными.

2. Что называется решением неравенства с двумя переменными?

3. Что значит решить неравенство с двумя переменными?

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Линейное неравенство с двумя переменными — это неравенство, которое можно привести к виду $ax + by > c$ или $ax + by < c$ (а также с нестрогими знаками $\geq$ и $\leq$), где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа, причем коэффициенты $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Графиком такого неравенства является полуплоскость.

Пример линейного неравенства: $2x - 3y \leq 6$.

Нелинейное неравенство с двумя переменными — это неравенство, которое не является линейным. В таких неравенствах переменные могут быть в степени выше первой, перемножаться между собой, находиться под знаком корня, модуля, тригонометрической функции и т.д.

Примеры нелинейных неравенств:

1. $x^2 + y^2 < 9$. Решением этого неравенства является множество точек внутри окружности с центром в начале координат и радиусом 3.

2. $y \geq x^2 - 4$. Решением является область на плоскости, ограниченная снизу параболой $y = x^2 - 4$, включая саму параболу.

Ответ: Пример линейного неравенства: $5x + 2y > 10$. Пример нелинейного неравенства: $x^2 + (y-1)^2 \geq 16$.

2. Решением неравенства с двумя переменными называется любая упорядоченная пара чисел $(x_0, y_0)$, которая при подстановке вместо переменных $(x, y)$ превращает это неравенство в верное числовое неравенство. Каждая такая пара является координатами точки на координатной плоскости.

Например, рассмотрим неравенство $x + 2y > 5$. Упорядоченная пара $(3, 2)$ является решением, так как подстановка дает $3 + 2 \cdot 2 > 5$, что упрощается до $7 > 5$. Это верное числовое неравенство. В то же время пара $(1, 1)$ не является решением, так как $1 + 2 \cdot 1 > 5$, то есть $3 > 5$, что является ложным утверждением.

Ответ: Решением неравенства с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство.

3. Решить неравенство с двумя переменными — это значит найти множество всех его решений. Поскольку таких решений обычно бесконечно много, их совокупность образует некоторую область (или несколько областей) на координатной плоскости. Таким образом, решить неравенство с двумя переменными — это значит описать или, что чаще всего требуется, графически изобразить это множество точек.

Процесс решения обычно включает следующие шаги:

1. Заменить в неравенстве знак неравенства ($>$, $<$, $\geq$, $\leq$) на знак равенства, чтобы получить уравнение границы, разделяющей плоскость на области.

2. Построить график этого уравнения. Линия графика рисуется сплошной, если неравенство нестрогое ($\geq$ или $\leq$), и пунктирной, если неравенство строгое ($>$ или $<$).

3. Выбрать произвольную "пробную" точку, не лежащую на границе, и подставить ее координаты в исходное неравенство. Если получается верное числовое неравенство, то область, содержащая эту точку, является искомым множеством решений, и ее следует заштриховать. Если неравенство неверное, то решением является другая область.

Ответ: Решить неравенство с двумя переменными — значит найти множество всех упорядоченных пар чисел, которые ему удовлетворяют, и, как правило, изобразить это множество графически на координатной плоскости.