Номер 117, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Решение текстовых задач с использованием систем нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 117, страница 38.

Условие.

117. В прямоугольном треугольнике, имеющем площадь $18\sqrt{3}$ см2, высота, проведенная к гипотенузе, равна $3\sqrt{3}$ см. Найдите катеты этого треугольника, если его периметр равен $6(3 + \sqrt{3})$ см.

Решение.

Решение 2 (rus).

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу — как $c$. Высоту, проведенную к гипотенузе, обозначим как $h_c$.
Из условия задачи имеем:
Площадь $S = 18\sqrt{3}$ см².
Высота $h_c = 3\sqrt{3}$ см.
Периметр $P = 6(3 + \sqrt{3})$ см.

1. Найдем длину гипотенузы $c$
Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$.
Выразим из этой формулы гипотенузу $c$:
$c = \frac{2S}{h_c} = \frac{2 \cdot 18\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = 12$ см.

2. Найдем сумму катетов $a+b$
Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.
Отсюда сумма катетов равна $a + b = P - c$.
Подставим известные значения:
$a + b = 6(3 + \sqrt{3}) - 12 = 18 + 6\sqrt{3} - 12 = 6 + 6\sqrt{3}$ см.

3. Найдем произведение катетов $ab$
Площадь прямоугольного треугольника также можно найти как половину произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.
Следовательно, произведение катетов $ab = 2S$.
Подставим значение площади:
$ab = 2 \cdot 18\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ см².

4. Найдем катеты $a$ и $b$
Мы имеем систему уравнений:
$a + b = 6 + 6\sqrt{3}$
$ab = 36\sqrt{3}$
Согласно обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (a+b)x + ab = 0$.
Подставим в него найденные значения суммы и произведения:
$x^2 - (6 + 6\sqrt{3})x + 36\sqrt{3} = 0$.
Решим это уравнение. Найдем дискриминант $\Delta = B^2 - 4AC$:
$\Delta = (-(6 + 6\sqrt{3}))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (36\sqrt{3}) = (6 + 6\sqrt{3})^2 - 144\sqrt{3}$
$\Delta = (36 + 72\sqrt{3} + 108) - 144\sqrt{3} = 144 + 72\sqrt{3} - 144\sqrt{3} = 144 - 72\sqrt{3}$.
Для нахождения корней необходимо извлечь корень из дискриминанта. Упростим выражение под корнем:
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{144 - 72\sqrt{3}} = \sqrt{36(4 - 2\sqrt{3})} = 6\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$.
Заметив, что $4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3}-1)^2$, получаем:
$\sqrt{\Delta} = 6\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = 6(\sqrt{3}-1) = 6\sqrt{3}-6$.
Теперь найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}$:
$x_1 = \frac{6 + 6\sqrt{3} + (6\sqrt{3}-6)}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$.
$x_2 = \frac{6 + 6\sqrt{3} - (6\sqrt{3}-6)}{2} = \frac{6 + 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 6}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
Таким образом, длины катетов треугольника равны $6$ см и $6\sqrt{3}$ см.

Ответ: Катеты треугольника равны $6$ см и $6\sqrt{3}$ см.