Номер 107, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Решение текстовых задач с использованием систем нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 107, страница 37.

Условие.

107. Отец с сыном могут выполнить работу за 1,2 ч. Если сын выполнит половину работы, а отец закончит ее, то потребуется 2,5 ч. За сколько часов может выполнить эту работу каждый из них, работая отдельно?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — время в часах, за которое отец может выполнить всю работу, работая один, а $y$ — время в часах, за которое сын может выполнить всю работу, работая один.

Тогда производительность отца составляет $\frac{1}{x}$ работы в час, а производительность сына — $\frac{1}{y}$ работы в час. Их совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ работы в час.

Согласно первому условию, отец и сын вместе выполняют работу за 1,2 часа. Примем весь объем работы за 1. Составим первое уравнение:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 1,2 = 1$

Разделим обе части на 1,2:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{1,2} = \frac{1}{12/10} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Согласно второму условию, если сын выполнит половину работы (то есть $\frac{1}{2}$ работы), а отец закончит вторую половину, то потребуется 2,5 часа. Время, затраченное сыном на половину работы, равно $\frac{1/2}{1/y} = \frac{y}{2}$ часов. Время, затраченное отцом на вторую половину, равно $\frac{1/2}{1/x} = \frac{x}{2}$ часов. Суммарное время составляет 2,5 часа. Составим второе уравнение:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 2,5$

Умножим обе части на 2:

$x + y = 5$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \\x + y = 5\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 5 - x$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{5-x} = \frac{5}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(5-x)$:

$\frac{(5-x) + x}{x(5-x)} = \frac{5}{6}$

$\frac{5}{5x - x^2} = \frac{5}{6}$

Поскольку числители равны, знаменатели также должны быть равны:

$5x - x^2 = 6$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Корнями являются числа 2 и 3. Или можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}$

$x_1 = \frac{5+1}{2} = 3$

$x_2 = \frac{5-1}{2} = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x$, используя уравнение $y = 5 - x$:

1. Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 5 - 3 = 2$.

2. Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 5 - 2 = 3$.

Таким образом, мы получили два возможных решения: либо отец выполнит работу за 3 часа, а сын за 2 часа, либо отец выполнит работу за 2 часа, а сын за 3 часа. Оба варианта удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: один из них может выполнить работу за 2 часа, а другой — за 3 часа.