Номер 100, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 100, страница 33.

Условие.

100. Как можно решить систему уравнений $ \begin{cases} x^2 - xy - 6y^2 = 0, \\ x^2 - 5xy + 2y^2 = -4, \end{cases} $ в которой одно из уравнений однородное, то есть его левая часть – многочлен, все члены которого имеют одинаковые степени, а правая часть – 0?

Решение.

Решение 2 (rus).

Системы уравнений, в которых одно из уравнений является однородным (все его члены имеют одинаковую степень, а правая часть равна нулю), решаются с помощью сведения однородного уравнения к квадратному уравнению относительно отношения переменных.

Описание метода решения

1. Рассматривается однородное уравнение. Пусть это уравнение $ax^2 + bxy + cy^2 = 0$.
2. Проверяется случай, когда одна из переменных равна нулю. Например, если $y = 0$, то уравнение принимает вид $ax^2 = 0$, откуда $x = 0$. Пара $(0, 0)$ является решением однородного уравнения. Эту пару нужно подставить во второе уравнение системы, чтобы проверить, является ли она решением всей системы.
3. Если $y \neq 0$, то можно разделить обе части однородного уравнения на $y^2$. Получим: $a\frac{x^2}{y^2} + b\frac{x}{y} + c = 0$.
4. Делается замена переменной $t = \frac{x}{y}$. Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$: $at^2 + bt + c = 0$.
5. Находятся корни этого уравнения, $t_1$ и $t_2$ (если они существуют).
6. Возвращаемся к исходным переменным. Каждое значение $t$ дает линейную зависимость между $x$ и $y$: $\frac{x}{y} = t_1 \implies x = t_1y$ и $\frac{x}{y} = t_2 \implies x = t_2y$.
7. Каждую из этих зависимостей поочередно подставляют во второе (неоднородное) уравнение системы. В результате получаются уравнения с одной переменной, которые решаются стандартными методами.

Решение системы уравнений

Дана система: $$ \begin{cases} x^2 - xy - 6y^2 = 0, \\ x^2 - 5xy + 2y^2 = -4. \end{cases} $$ Первое уравнение $x^2 - xy - 6y^2 = 0$ является однородным.

Сначала проверим случай, когда $y=0$. Подставив в первое уравнение, получим $x^2 - 0 - 0 = 0$, откуда $x=0$. Теперь подставим пару $(0, 0)$ во второе уравнение: $0^2 - 5(0)(0) + 2(0)^2 = -4$, что приводит к неверному равенству $0 = -4$. Следовательно, пара $(0, 0)$ не является решением системы, и можно считать, что $y \neq 0$.

Разделим обе части первого уравнения на $y^2$ (так как $y \neq 0$): $$ \frac{x^2}{y^2} - \frac{xy}{y^2} - \frac{6y^2}{y^2} = 0 $$ $$ \left(\frac{x}{y}\right)^2 - \frac{x}{y} - 6 = 0 $$ Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение: $$ t^2 - t - 6 = 0 $$ Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = 3$, откуда $x = 3y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы: $$ (3y)^2 - 5(3y)y + 2y^2 = -4 $$ $$ 9y^2 - 15y^2 + 2y^2 = -4 $$ $$ -4y^2 = -4 $$ $$ y^2 = 1 $$ Отсюда $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 3 \cdot 1 = 3$.
Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 3 \cdot (-1) = -3$.
Получаем две пары решений: $(3, 1)$ и $(-3, -1)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -2$, откуда $x = -2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы: $$ (-2y)^2 - 5(-2y)y + 2y^2 = -4 $$ $$ 4y^2 + 10y^2 + 2y^2 = -4 $$ $$ 16y^2 = -4 $$ $$ y^2 = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4} $$ Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, система имеет два решения, найденные в первом случае.

Ответ: $(3, 1), (-3, -1)$.