Номер 97, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 97, страница 33.

Условие.

97. У брата было $x$ груш, а у сестры – $y^2$ яблок. Всего у них было 11 этих фруктов. Если бы у брата было $y$ груш, а у сестры – $x^2$ яблок, то всего этих фруктов у них было бы 7. Сколько было груш у брата и сколько яблок у сестры?

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть изначально у брата было $x$ груш, а у сестры — $y^2$ яблок. По условию, всего у них было 11 фруктов. Это можно записать в виде уравнения:

$x + y^2 = 11$

Во втором случае, если бы у брата было $y$ груш, а у сестры — $x^2$ яблок, то всего у них было бы 7 фруктов. Это дает нам второе уравнение:

$y + x^2 = 7$

Таким образом, нам нужно решить систему уравнений в целых неотрицательных числах, поскольку количество фруктов не может быть дробным или отрицательным:

$ \begin{cases} x + y^2 = 11 \\ y + x^2 = 7 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 7 - x^2$. Так как количество груш $y$ не может быть отрицательным ($y \ge 0$), то $7 - x^2 \ge 0$, откуда $x^2 \le 7$. Учитывая, что $x$ — целое неотрицательное число, его возможные значения: 0, 1, 2.

Теперь рассмотрим эти возможные значения для $x$:

1. Если $x = 0$, то из второго уравнения $y = 7 - 0^2 = 7$. Подставим эти значения в первое уравнение: $0 + 7^2 = 49$. Так как $49 \neq 11$, это решение неверно.

2. Если $x = 1$, то из второго уравнения $y = 7 - 1^2 = 6$. Подставим эти значения в первое уравнение: $1 + 6^2 = 1 + 36 = 37$. Так как $37 \neq 11$, это решение неверно.

3. Если $x = 2$, то из второго уравнения $y = 7 - 2^2 = 7 - 4 = 3$. Подставим эти значения в первое уравнение: $2 + 3^2 = 2 + 9 = 11$. Это верное равенство. Таким образом, пара $(x=2, y=3)$ является решением системы.

Итак, мы нашли, что $x = 2$ и $y = 3$. Теперь определим, сколько фруктов было у брата и сестры изначально.

Количество груш у брата равно $x$, то есть 2 груши.

Количество яблок у сестры равно $y^2$, то есть $3^2 = 9$ яблок.

Ответ: у брата было 2 груши, а у сестры 9 яблок.