Номер 91, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 91, страница 32.

Условие.

91. Решите способом сложения систему уравнений:

а)

$\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{1}{y} = \frac{11}{6}, \\ \frac{1}{x} - \frac{4}{y} = -\frac{5}{6}. \end{cases}$

б)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 82, \\ xy = -9; \end{cases}$

в)

$\begin{cases} \frac{x}{y} + xy = -10, \\ \frac{5x}{y} - 2xy = 13; \end{cases}$

г)

$\begin{cases} 3x^2 + 2xy - y^2 = 4, \\ x^2 - 2xy - 3y^2 = -4. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\frac{3}{x} + \frac{1}{y} = \frac{11}{6} \\\frac{1}{x} - \frac{4}{y} = -\frac{5}{6}\end{cases}$

Для решения этой системы удобно ввести новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. Тогда система примет вид:

$\begin{cases}3u + v = \frac{11}{6} \\u - 4v = -\frac{5}{6}\end{cases}$

Чтобы использовать метод сложения, умножим первое уравнение на 4, чтобы коэффициенты при $v$ стали противоположными:

$\begin{cases}12u + 4v = \frac{44}{6} \\u - 4v = -\frac{5}{6}\end{cases}$

Теперь сложим два уравнения почленно:

$(12u + 4v) + (u - 4v) = \frac{44}{6} - \frac{5}{6}$

$13u = \frac{39}{6}$

$13u = \frac{13}{2}$

$u = \frac{1}{2}$

Подставим найденное значение $u$ в одно из уравнений системы для $u$ и $v$, например, во второе $u - 4v = -\frac{5}{6}$:

$\frac{1}{2} - 4v = -\frac{5}{6}$

$-4v = -\frac{5}{6} - \frac{1}{2}$

$-4v = -\frac{5}{6} - \frac{3}{6}$

$-4v = -\frac{8}{6}$

$-4v = -\frac{4}{3}$

$v = \frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$u = \frac{1}{x} \implies \frac{1}{2} = \frac{1}{x} \implies x = 2$

$v = \frac{1}{y} \implies \frac{1}{3} = \frac{1}{y} \implies y = 3$

Ответ: $(2, 3)$.

б) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 82 \\xy = -9\end{cases}$

Для применения метода сложения, умножим второе уравнение на 2 и сложим с первым:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 82 \\2xy = -18\end{cases}$

Складываем уравнения:

$(x^2 + y^2) + 2xy = 82 - 18$

$x^2 + 2xy + y^2 = 64$

$(x+y)^2 = 64$

Отсюда получаем два возможных уравнения: $x+y=8$ или $x+y=-8$.

Теперь умножим второе исходное уравнение на -2 и снова сложим с первым:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 82 \\-2xy = 18\end{cases}$

Складываем уравнения:

$(x^2 + y^2) - 2xy = 82 + 18$

$x^2 - 2xy + y^2 = 100$

$(x-y)^2 = 100$

Отсюда получаем еще два возможных уравнения: $x-y=10$ или $x-y=-10$.

Теперь решим четыре системы линейных уравнений:

1) $\begin{cases} x+y=8 \\ x-y=10 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x=18$, $x=9$. Тогда $9+y=8$, $y=-1$. Решение: $(9, -1)$.

2) $\begin{cases} x+y=8 \\ x-y=-10 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x=-2$, $x=-1$. Тогда $-1+y=8$, $y=9$. Решение: $(-1, 9)$.

3) $\begin{cases} x+y=-8 \\ x-y=10 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x=2$, $x=1$. Тогда $1+y=-8$, $y=-9$. Решение: $(1, -9)$.

4) $\begin{cases} x+y=-8 \\ x-y=-10 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x=-18$, $x=-9$. Тогда $-9+y=-8$, $y=1$. Решение: $(-9, 1)$.

Ответ: $(9, -1)$, $(-1, 9)$, $(1, -9)$, $(-9, 1)$.

в) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\frac{x}{y} + xy = -10 \\\frac{5x}{y} - 2xy = 13\end{cases}$

Введем новые переменные: $u = \frac{x}{y}$ и $v = xy$. Система примет вид:

$\begin{cases}u + v = -10 \\5u - 2v = 13\end{cases}$

Умножим первое уравнение на 2, чтобы применить метод сложения:

$\begin{cases}2u + 2v = -20 \\5u - 2v = 13\end{cases}$

Сложим уравнения:

$(2u + 2v) + (5u - 2v) = -20 + 13$

$7u = -7$

$u = -1$

Подставим $u=-1$ в первое уравнение $u+v=-10$:

$-1 + v = -10$

$v = -9$

Теперь вернемся к исходным переменным:

$u = \frac{x}{y} = -1 \implies x = -y$

$v = xy = -9$

Подставим $x=-y$ во второе уравнение $xy=-9$:

$(-y)y = -9$

$-y^2 = -9$

$y^2 = 9$

Отсюда $y=3$ или $y=-3$.

Если $y=3$, то $x=-y=-3$. Получаем решение $(-3, 3)$.

Если $y=-3$, то $x=-y=-(-3)=3$. Получаем решение $(3, -3)$.

Ответ: $(-3, 3)$, $(3, -3)$.

г) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}3x^2 + 2xy - y^2 = 4 \\x^2 - 2xy - 3y^2 = -4\end{cases}$

Коэффициенты при $2xy$ противоположны, поэтому можно сразу применить метод сложения. Сложим два уравнения системы:

$(3x^2 + 2xy - y^2) + (x^2 - 2xy - 3y^2) = 4 + (-4)$

$4x^2 - 4y^2 = 0$

$x^2 - y^2 = 0$

$(x-y)(x+y) = 0$

Это уравнение дает два случая: $x=y$ или $x=-y$.

Случай 1: $x=y$.

Подставим $x=y$ в первое исходное уравнение:

$3(y)^2 + 2(y)y - y^2 = 4$

$3y^2 + 2y^2 - y^2 = 4$

$4y^2 = 4$

$y^2 = 1$

Отсюда $y=1$ или $y=-1$.

Если $y=1$, то $x=y=1$. Решение: $(1, 1)$.

Если $y=-1$, то $x=y=-1$. Решение: $(-1, -1)$.

Случай 2: $x=-y$.

Подставим $x=-y$ в первое исходное уравнение:

$3(-y)^2 + 2(-y)y - y^2 = 4$

$3y^2 - 2y^2 - y^2 = 4$

$0 = 4$

Это неверное равенство, значит, в этом случае решений нет.

Проверим найденные решения $(1, 1)$ и $(-1, -1)$ подстановкой во второе исходное уравнение $x^2 - 2xy - 3y^2 = -4$.

Для $(1, 1)$: $1^2 - 2(1)(1) - 3(1)^2 = 1 - 2 - 3 = -4$. Верно.

Для $(-1, -1)$: $(-1)^2 - 2(-1)(-1) - 3(-1)^2 = 1 - 2 - 3 = -4$. Верно.

Ответ: $(1, 1)$, $(-1, -1)$.