Номер 74, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 74, страница 25.

Условие.

74. Исследуйте, каковы могут быть длины сторон прямоугольника в метрах, если его площадь выражается в квадратных метрах тем же целым числом, что и его периметр.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть длины сторон прямоугольника равны $a$ и $b$ метров. Тогда его площадь $S$ в квадратных метрах и периметр $P$ в метрах выражаются формулами:$S = a \cdot b$$P = 2(a + b)$По условию задачи, числовые значения площади и периметра равны одному и тому же целому числу. Запишем это в виде уравнения:$a \cdot b = 2(a + b)$

Нам необходимо найти все возможные положительные значения $a$ и $b$, которые удовлетворяют этому уравнению и для которых значение $a \cdot b$ является целым числом.Выразим одну переменную через другую, например, $a$ через $b$:$ab - 2a = 2b$$a(b - 2) = 2b$Если $b \neq 2$, то $a = \frac{2b}{b - 2}$.Так как $a$ и $b$ — это длины сторон, они должны быть положительными числами ($a > 0$ и $b > 0$). Из того, что $a > 0$ и $b > 0$, следует, что знаменатель дроби $b - 2$ также должен быть положительным, то есть $b - 2 > 0$, откуда $b > 2$.В силу симметрии исходного уравнения относительно $a$ и $b$, аналогичное условие должно выполняться и для стороны $a$, то есть $a > 2$. Таким образом, длины обеих сторон прямоугольника должны быть строго больше 2 метров.

Рассмотрим сначала случай, когда длины сторон $a$ и $b$ являются целыми числами. Для этого преобразуем выражение для $a$:$a = \frac{2b}{b - 2} = \frac{2(b - 2) + 4}{b - 2} = 2 + \frac{4}{b - 2}$Чтобы $a$ было целым числом, выражение $\frac{4}{b - 2}$ также должно быть целым. Это означает, что $(b - 2)$ должен быть делителем числа 4.Так как мы установили, что $b > 2$, то $(b - 2)$ должен быть положительным целым делителем числа 4. Положительные делители числа 4 — это 1, 2, 4.Разберем каждый случай:1. Если $b - 2 = 1$, то $b = 3$. Тогда $a = 2 + \frac{4}{1} = 6$. Получаем прямоугольник со сторонами 3 м и 6 м. Проверка: $S = 3 \cdot 6 = 18 \text{ м}^2$, $P = 2(3 + 6) = 18$ м. Условие выполняется.2. Если $b - 2 = 2$, то $b = 4$. Тогда $a = 2 + \frac{4}{2} = 4$. Получаем квадрат со стороной 4 м. Проверка: $S = 4 \cdot 4 = 16 \text{ м}^2$, $P = 2(4 + 4) = 16$ м. Условие выполняется.3. Если $b - 2 = 4$, то $b = 6$. Тогда $a = 2 + \frac{4}{4} = 3$. Этот случай дает тот же прямоугольник, что и в первом пункте, со сторонами 3 м и 6 м.Следовательно, существует два таких прямоугольника с целочисленными сторонами.

Теперь исследуем общий случай, когда стороны $a$ и $b$ могут быть любыми положительными (не обязательно целыми) числами. Обозначим целое значение площади и периметра буквой $N$.$ab = N$$2(a+b) = N \implies a+b = \frac{N}{2}$Мы ищем два числа, $a$ и $b$, зная их сумму и произведение. Эти числа являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (a+b)x + ab = 0$. Подставив наши значения, получим:$x^2 - \frac{N}{2}x + N = 0$

Чтобы это уравнение имело действительные корни (поскольку длины сторон — действительные числа), его дискриминант $\Delta$ должен быть неотрицательным ($\Delta \ge 0$).$\Delta = \left(-\frac{N}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot N = \frac{N^2}{4} - 4N$Условие $\Delta \ge 0$ приводит к неравенству:$\frac{N^2}{4} - 4N \ge 0$Так как $a, b > 0$, их произведение $N = ab$ также должно быть положительным, $N>0$. Поэтому мы можем умножить неравенство на $4$ и разделить на $N$, не меняя знака неравенства:$N - 16 \ge 0 \implies N \ge 16$Это означает, что общее числовое значение площади и периметра может быть любым целым числом, не меньшим 16.

Длины сторон $a$ и $b$ находятся как корни этого квадратного уравнения:$a, b = \frac{\frac{N}{2} \pm \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{\frac{N}{2} \pm \sqrt{\frac{N^2}{4} - 4N}}{2} = \frac{N \pm \sqrt{N^2 - 16N}}{4} = \frac{N \pm \sqrt{N(N-16)}}{4}$Таким образом, для любого целого числа $N \ge 16$ существует пара сторон $a$ и $b$, удовлетворяющая условию задачи. Например:

• При $N=16$, $a = \frac{16 + \sqrt{16(0)}}{4} = 4$ и $b = \frac{16 - 0}{4} = 4$. Стороны 4 м и 4 м.
• При $N=18$, $a = \frac{18 + \sqrt{18(2)}}{4} = \frac{18 + 6}{4} = 6$ и $b = \frac{18 - 6}{4} = 3$. Стороны 3 м и 6 м.
• При $N=25$, $a = \frac{25 + \sqrt{25(9)}}{4} = \frac{25 + 15}{4} = 10$ и $b = \frac{25 - 15}{4} = 2.5$. Стороны 2,5 м и 10 м.
• При $N=17$, стороны будут иррациональными: $a = \frac{17 + \sqrt{17}}{4}$ м и $b = \frac{17 - \sqrt{17}}{4}$ м.

Ответ:Длины сторон прямоугольника, $a$ и $b$, могут быть любыми положительными числами, которые определяются формулами:$a = \frac{N + \sqrt{N(N-16)}}{4}$ и $b = \frac{N - \sqrt{N(N-16)}}{4}$,где $N$ — это любое целое число, такое что $N \ge 16$. Это число $N$ является одновременно числовым значением площади и периметра прямоугольника.В частном случае, когда длины сторон являются целыми числами, существует два таких прямоугольника:1. Квадрат со стороной 4 м (площадь и периметр равны 16).2. Прямоугольник со сторонами 3 м и 6 м (площадь и периметр равны 18).