Номер 75, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 75, страница 25.

Условие.

75. Найдите две пары (x; y) натуральных чисел, являющиеся решениями уравнения $x^2 - 3xy + 2y^2 + 6 = 0$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано уравнение $x^2 - 3xy + 2y^2 + 6 = 0$. Требуется найти две пары натуральных чисел $(x; y)$, являющиеся решениями этого уравнения.

Преобразуем уравнение, разложив на множители его левую часть. Выражение $x^2 - 3xy + 2y^2$ можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно $x$. Его корни равны $y$ и $2y$. Таким образом, выражение раскладывается на множители: $x^2 - 3xy + 2y^2 = (x-y)(x-2y)$.

Подставим полученное разложение обратно в исходное уравнение:

$(x-y)(x-2y) + 6 = 0$

Это уравнение можно переписать в виде:

$(x-y)(x-2y) = -6$

По условию задачи, $x$ и $y$ — натуральные числа, следовательно, $(x-y)$ и $(x-2y)$ являются целыми числами. Их произведение равно -6. Обозначим $A = x-2y$ и $B = x-y$.

Рассмотрим разность этих выражений: $B - A = (x-y) - (x-2y) = x - y - x + 2y = y$.

Поскольку $y$ — натуральное число, $y \ge 1$. Это означает, что $B - A \ge 1$, или $B > A$.

Теперь нам нужно найти все пары целых чисел $(A, B)$, такие что $A \cdot B = -6$ и $B > A$. Перечислим все возможные пары делителей числа -6, удовлетворяющие этому условию:

1. $A = -6, B = 1$

2. $A = -3, B = 2$

3. $A = -2, B = 3$

4. $A = -1, B = 6$

Для нахождения двух пар решений $(x; y)$ достаточно рассмотреть любые два из этих четырех случаев.

Случай 1: $A = -2, B = 3$
Получаем систему уравнений:
$x - 2y = -2$
$x - y = 3$
Из второго уравнения выражаем $x$: $x = y + 3$.
Подставляем это выражение в первое уравнение:
$(y + 3) - 2y = -2$
$3 - y = -2$
$y = 5$
Находим соответствующее значение $x$:
$x = 5 + 3 = 8$
Таким образом, первая пара натуральных чисел, являющаяся решением, — это $(8; 5)$.

Случай 2: $A = -1, B = 6$
Получаем систему уравнений:
$x - 2y = -1$
$x - y = 6$
Из второго уравнения выражаем $x$: $x = y + 6$.
Подставляем это выражение в первое уравнение:
$(y + 6) - 2y = -1$
$6 - y = -1$
$y = 7$
Находим соответствующее значение $x$:
$x = 7 + 6 = 13$
Таким образом, вторая пара натуральных чисел, являющаяся решением, — это $(13; 7)$.

Ответ: Две пары натуральных чисел, являющиеся решениями уравнения, — это $(8; 5)$ и $(13; 7)$. (Также решениями являются пары $(7; 5)$ и $(8; 7)$, которые можно получить из других случаев).