Номер 73, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 73, страница 25.

Условие.

73. Решите в натуральных числах уравнение:

a) $3n - 2 = 2mn - 3m$;

б) $2mn - 4 = m + 3n$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Данное уравнение $3n - 2 = 2mn - 3m$ является диофантовым, и его требуется решить в натуральных числах, то есть найти все пары натуральных $m$ и $n$, удовлетворяющие равенству. Для решения перенесем все члены в одну часть и применим метод разложения на множители.

Переносим все члены налево: $3n - 2 - 2mn + 3m = 0$.
Сгруппируем их: $2mn - 3m - 3n + 2 = 0$.

Чтобы упростить разложение на множители, умножим всё уравнение на 2, это позволит избежать дробей:
$4mn - 6m - 6n + 4 = 0$.

Теперь вынесем общие множители из первых двух слагаемых и сгруппируем остальные:
$2m(2n - 3) - 6n + 4 = 0$.
Чтобы выделить множитель $(2n - 3)$ из оставшихся членов, представим $-6n + 4$ в виде $-6n + 9 - 5$ (поскольку $-3 \cdot (2n-3) = -6n+9$):
$2m(2n - 3) - (6n - 9) - 5 = 0$
$2m(2n - 3) - 3(2n - 3) - 5 = 0$
Теперь можно вынести общий множитель $(2n - 3)$:
$(2m - 3)(2n - 3) = 5$.

Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, то $m \ge 1$ и $n \ge 1$. Это накладывает ограничения на возможные значения множителей:
$2m - 3 \ge 2(1) - 3 = -1$
$2n - 3 \ge 2(1) - 3 = -1$
Число 5 является простым, его целые делители — это пары $(1, 5)$, $(5, 1)$, $(-1, -5)$ и $(-5, -1)$. Рассмотрим все возможные случаи:

1. $2m - 3 = 1$ и $2n - 3 = 5$.
Из первого уравнения: $2m = 4 \implies m = 2$.
Из второго уравнения: $2n = 8 \implies n = 4$.
Пара $(m, n) = (2, 4)$ состоит из натуральных чисел и является решением.

2. $2m - 3 = 5$ и $2n - 3 = 1$.
Из первого уравнения: $2m = 8 \implies m = 4$.
Из второго уравнения: $2n = 4 \implies n = 2$.
Пара $(m, n) = (4, 2)$ также является решением.

3. $2m - 3 = -1$ и $2n - 3 = -5$.
Из первого уравнения: $2m = 2 \implies m = 1$.
Из второго уравнения: $2n = -2 \implies n = -1$.
Так как $n = -1$ не является натуральным числом, эта пара не является решением.

4. $2m - 3 = -5$ и $2n - 3 = -1$.
Из первого уравнения: $2m = -2 \implies m = -1$.
Так как $m = -1$ не является натуральным числом, эта пара не является решением.

Таким образом, уравнение имеет два решения в натуральных числах.
Ответ: $(2, 4), (4, 2)$.

б) Решим уравнение $2mn - 4 = m + 3n$ в натуральных числах. Используем аналогичный метод разложения на множители.

Перенесем все члены уравнения в одну часть:
$2mn - m - 3n - 4 = 0$.

Умножим уравнение на 2 для удобства факторизации:
$4mn - 2m - 6n - 8 = 0$.

Сгруппируем члены и вынесем общие множители:
$2m(2n - 1) - 6n - 8 = 0$.
Чтобы выделить множитель $(2n - 1)$, представим $-6n-8$ в виде $-6n+3-11$ (поскольку $-3 \cdot (2n-1) = -6n+3$):
$2m(2n - 1) - (6n - 3) - 11 = 0$
$2m(2n - 1) - 3(2n - 1) - 11 = 0$
Вынесем общий множитель $(2n - 1)$:
$(2m - 3)(2n - 1) = 11$.

Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа ($m \ge 1, n \ge 1$), найдем возможные значения множителей:
$2m - 3 \ge 2(1) - 3 = -1$
$2n - 1 \ge 2(1) - 1 = 1$
Так как $2n - 1$ — положительное целое число, а произведение равно 11, то и множитель $2m - 3$ должен быть положительным. Число 11 — простое, его положительные целочисленные делители — это пары $(1, 11)$ и $(11, 1)$.

1. $2m - 3 = 1$ и $2n - 1 = 11$.
Из первого уравнения: $2m = 4 \implies m = 2$.
Из второго уравнения: $2n = 12 \implies n = 6$.
Пара $(m, n) = (2, 6)$ является решением.

2. $2m - 3 = 11$ и $2n - 1 = 1$.
Из первого уравнения: $2m = 14 \implies m = 7$.
Из второго уравнения: $2n = 2 \implies n = 1$.
Пара $(m, n) = (7, 1)$ также является решением.

Других пар положительных делителей нет, а отрицательные мы исключили, так как $2n-1 \ge 1$.
Ответ: $(2, 6), (7, 1)$.