Номер 65, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 65, страница 23.

Условие.

65. Решите в натуральных числах уравнение, рассмотрев все возможные случаи:

а) $3mn - 7 = 3n - 2m;$

б) $2mn - 4 = m + 2n.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Исходное уравнение: $3mn - 7 = 3n - 2m$.Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, то $m \geq 1$ и $n \geq 1$.Перенесем все члены с переменными в левую часть, а константу — в правую:$3mn + 2m - 3n = 7$

Для решения этого уравнения в натуральных числах применим метод разложения на множители. Сгруппируем члены:$m(3n + 2) - 3n = 7$

Чтобы можно было вынести за скобку выражение $(3n+2)$, вычтем 2 из обеих частей уравнения:$m(3n + 2) - 3n - 2 = 7 - 2$$m(3n + 2) - (3n + 2) = 5$

Теперь вынесем общий множитель $(3n+2)$:$(m - 1)(3n + 2) = 5$

Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, то $m-1$ и $3n+2$ — целые числа.При этом из $m \geq 1$ следует, что $m-1 \geq 0$.А из $n \geq 1$ следует, что $3n \geq 3$, и значит $3n+2 \geq 5$.

Число 5 — простое, его можно представить в виде произведения двух целых чисел следующими способами: $1 \cdot 5$, $5 \cdot 1$, $(-1) \cdot (-5)$, $(-5) \cdot (-1)$.Учитывая, что оба множителя неотрицательны, а второй множитель $(3n+2)$ не меньше 5, остается только один возможный случай.

Случай 1:$m - 1 = 1$ и $3n + 2 = 5$.Из первого уравнения получаем $m = 2$.Из второго уравнения получаем $3n = 3$, откуда $n = 1$.Пара $(m, n) = (2, 1)$ состоит из натуральных чисел и удовлетворяет условиям. Проверим, подставив в исходное уравнение: $3(2)(1) - 7 = 6 - 7 = -1$ и $3(1) - 2(2) = 3 - 4 = -1$. Равенство верно.

Остальные комбинации невозможны. Например, $m-1=5, 3n+2=1$ приводит к $n=-1/3$, что не является натуральным числом. Отрицательные множители также не подходят, так как $3n+2 \ge 5$.

Таким образом, единственным решением в натуральных числах является пара $(2, 1)$.
Ответ: $(2, 1)$.

---

б)

Исходное уравнение: $2mn - 4 = m + 2n$.Ищем решения в натуральных числах, то есть $m \geq 1$ и $n \geq 1$.Перенесем члены с переменными в одну сторону:$2mn - m - 2n = 4$

Применим метод разложения на множители. Сгруппируем члены:$m(2n - 1) - 2n = 4$

Чтобы выделить множитель $(2n-1)$, прибавим 1 к обеим частям уравнения:$m(2n - 1) - 2n + 1 = 4 + 1$$m(2n - 1) - (2n - 1) = 5$

Вынесем общий множитель $(2n-1)$:$(m - 1)(2n - 1) = 5$

Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, то $(m-1)$ и $(2n-1)$ — целые числа.При этом из $m \geq 1$ следует, что $m-1 \geq 0$.А из $n \geq 1$ следует, что $2n \geq 2$, и значит $2n-1 \geq 1$.

Поскольку оба множителя $(m-1)$ и $(2n-1)$ должны быть неотрицательными, а их произведение равно 5 (положительное число), то оба множителя должны быть положительными.Число 5 — простое, поэтому возможны следующие пары положительных целых множителей: $1 \cdot 5$ и $5 \cdot 1$.

Случай 1:$m - 1 = 1$ и $2n - 1 = 5$.Из первого уравнения $m = 2$.Из второго уравнения $2n = 6$, откуда $n = 3$.Пара $(m, n) = (2, 3)$ состоит из натуральных чисел. Это является решением.

Случай 2:$m - 1 = 5$ и $2n - 1 = 1$.Из первого уравнения $m = 6$.Из второго уравнения $2n = 2$, откуда $n = 1$.Пара $(m, n) = (6, 1)$ состоит из натуральных чисел. Это также является решением.

Таким образом, уравнение имеет два решения в натуральных числах.
Ответ: $(2, 3)$, $(6, 1)$.