Номер 65, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 65, страница 23.
№65 (с. 23)
Условие. №65 (с. 23)
скриншот условия

65. Решите в натуральных числах уравнение, рассмотрев все возможные случаи:
а) $3mn - 7 = 3n - 2m;$
б) $2mn - 4 = m + 2n.$
Решение. №65 (с. 23)


Решение 2 (rus). №65 (с. 23)
а)
Исходное уравнение: $3mn - 7 = 3n - 2m$.Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, то $m \geq 1$ и $n \geq 1$.Перенесем все члены с переменными в левую часть, а константу — в правую:$3mn + 2m - 3n = 7$
Для решения этого уравнения в натуральных числах применим метод разложения на множители. Сгруппируем члены:$m(3n + 2) - 3n = 7$
Чтобы можно было вынести за скобку выражение $(3n+2)$, вычтем 2 из обеих частей уравнения:$m(3n + 2) - 3n - 2 = 7 - 2$$m(3n + 2) - (3n + 2) = 5$
Теперь вынесем общий множитель $(3n+2)$:$(m - 1)(3n + 2) = 5$
Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, то $m-1$ и $3n+2$ — целые числа.При этом из $m \geq 1$ следует, что $m-1 \geq 0$.А из $n \geq 1$ следует, что $3n \geq 3$, и значит $3n+2 \geq 5$.
Число 5 — простое, его можно представить в виде произведения двух целых чисел следующими способами: $1 \cdot 5$, $5 \cdot 1$, $(-1) \cdot (-5)$, $(-5) \cdot (-1)$.Учитывая, что оба множителя неотрицательны, а второй множитель $(3n+2)$ не меньше 5, остается только один возможный случай.
Случай 1:$m - 1 = 1$ и $3n + 2 = 5$.Из первого уравнения получаем $m = 2$.Из второго уравнения получаем $3n = 3$, откуда $n = 1$.Пара $(m, n) = (2, 1)$ состоит из натуральных чисел и удовлетворяет условиям. Проверим, подставив в исходное уравнение: $3(2)(1) - 7 = 6 - 7 = -1$ и $3(1) - 2(2) = 3 - 4 = -1$. Равенство верно.
Остальные комбинации невозможны. Например, $m-1=5, 3n+2=1$ приводит к $n=-1/3$, что не является натуральным числом. Отрицательные множители также не подходят, так как $3n+2 \ge 5$.
Таким образом, единственным решением в натуральных числах является пара $(2, 1)$.
Ответ: $(2, 1)$.
б)
Исходное уравнение: $2mn - 4 = m + 2n$.Ищем решения в натуральных числах, то есть $m \geq 1$ и $n \geq 1$.Перенесем члены с переменными в одну сторону:$2mn - m - 2n = 4$
Применим метод разложения на множители. Сгруппируем члены:$m(2n - 1) - 2n = 4$
Чтобы выделить множитель $(2n-1)$, прибавим 1 к обеим частям уравнения:$m(2n - 1) - 2n + 1 = 4 + 1$$m(2n - 1) - (2n - 1) = 5$
Вынесем общий множитель $(2n-1)$:$(m - 1)(2n - 1) = 5$
Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, то $(m-1)$ и $(2n-1)$ — целые числа.При этом из $m \geq 1$ следует, что $m-1 \geq 0$.А из $n \geq 1$ следует, что $2n \geq 2$, и значит $2n-1 \geq 1$.
Поскольку оба множителя $(m-1)$ и $(2n-1)$ должны быть неотрицательными, а их произведение равно 5 (положительное число), то оба множителя должны быть положительными.Число 5 — простое, поэтому возможны следующие пары положительных целых множителей: $1 \cdot 5$ и $5 \cdot 1$.
Случай 1:$m - 1 = 1$ и $2n - 1 = 5$.Из первого уравнения $m = 2$.Из второго уравнения $2n = 6$, откуда $n = 3$.Пара $(m, n) = (2, 3)$ состоит из натуральных чисел. Это является решением.
Случай 2:$m - 1 = 5$ и $2n - 1 = 1$.Из первого уравнения $m = 6$.Из второго уравнения $2n = 2$, откуда $n = 1$.Пара $(m, n) = (6, 1)$ состоит из натуральных чисел. Это также является решением.
Таким образом, уравнение имеет два решения в натуральных числах.
Ответ: $(2, 3)$, $(6, 1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 65 расположенного на странице 23 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №65 (с. 23), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.