Номер 59, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 59, страница 23.

Условие.

59. Найдите двузначное число, если оно в 3 раза больше суммы его цифр. Исследуйте все возможные случаи.

Решение.

Решение 2 (rus).

Обозначим искомое двузначное число как $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Поскольку число двузначное, $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — любой цифрой от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Сумма цифр этого числа равна $a + b$.

Согласно условию задачи, число в 3 раза больше суммы его цифр. Составим уравнение:

$10a + b = 3(a + b)$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки в правой части:

$10a + b = 3a + 3b$

Перенесем все члены с переменной $a$ в левую часть, а с переменной $b$ — в правую:

$10a - 3a = 3b - b$

Упростим выражение:

$7a = 2b$

Исследуйте все возможные случаи

Мы получили уравнение $7a = 2b$, которое нужно решить в целых числах с учетом ограничений на цифры $a$ и $b$.

Так как числа 7 и 2 являются взаимно простыми, из равенства $7a = 2b$ следует, что $a$ должно быть кратно 2, а $b$ должно быть кратно 7.

То есть, мы можем записать $a = 2k$ и $b = 7k$, где $k$ — некоторое целое положительное число (поскольку $a \ge 1$, то и $k \ge 1$).

Теперь подставим эти выражения в ограничения для цифр $a$ и $b$:

1. Для $a$: $1 \le 2k \le 9$. Разделив на 2, получаем $0.5 \le k \le 4.5$.

2. Для $b$: $0 \le 7k \le 9$. Разделив на 7, получаем $0 \le k \le 9/7$, то есть примерно $0 \le k \le 1.28$.

Нам нужно найти целое значение $k$, которое удовлетворяет обоим неравенствам одновременно. Единственное целое число, которое находится в диапазоне $[0.5, 4.5]$ и одновременно в диапазоне $[0, 1.28]$, — это $k=1$.

При $k = 1$ находим значения для $a$ и $b$:

$a = 2k = 2 \cdot 1 = 2$

$b = 7k = 7 \cdot 1 = 7$

Таким образом, мы получили единственное решение: цифра десятков $a=2$, цифра единиц $b=7$. Искомое число — 27.

Проверим найденное решение:

Число: 27. Сумма его цифр: $2 + 7 = 9$.

Утроенная сумма цифр: $3 \cdot 9 = 27$.

Условие $27 = 27$ выполняется. Других решений, как показало исследование, нет.

Ответ: 27.