Номер 53, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 53, страница 22.

Условие.

53. Какие из уравнений являются линейными уравнениями с двумя переменными:

а) $xy = 12;$

б) $x + y = \sqrt{6};$

в) $\sqrt{x^2} + \sqrt{y^2} = 4;$

г) $(x - 2)(y + 3) = 0;$

д) $\sqrt{2} \cdot x - \sqrt{3} \cdot y = 0;$

е) $\frac{x^2 - y^2}{x - y} = \frac{4}{9}?$

Решение.

Решение 2 (rus).

Линейным уравнением с двумя переменными `x` и `y` называется уравнение вида `ax + by = c`, где `a`, `b` и `c` — некоторые числа (коэффициенты), причем `a` и `b` не равны нулю одновременно. Ключевым признаком является то, что переменные `x` и `y` входят в уравнение только в первой степени и не перемножаются друг с другом.

Проанализируем каждое уравнение:

а) Уравнение `xy = 12` содержит произведение переменных `x` и `y`. Степень этого члена равна `1+1=2`. Такое уравнение не может быть приведено к стандартному виду `ax + by = c`. Следовательно, оно не является линейным.

Ответ: не является линейным уравнением.

б) Уравнение `x + y = √6` соответствует стандартному виду `ax + by = c`, где коэффициенты `a=1`, `b=1` и `c=√6`. Переменные `x` и `y` находятся в первой степени. Следовательно, это линейное уравнение.

Ответ: является линейным уравнением.

в) Учитывая, что `√k² = |k|`, данное уравнение можно переписать в виде `|x| + |y| = 4`. Наличие модулей у переменных `x` и `y` делает это уравнение нелинейным. Графиком этого уравнения является квадрат, а не прямая линия.

Ответ: не является линейным уравнением.

г) Раскроем скобки в уравнении `(x - 2)(y + 3) = 0`: `xy + 3x - 2y - 6 = 0`. Поскольку в уравнении присутствует член `xy` (произведение переменных), оно не является линейным.

Ответ: не является линейным уравнением.

д) Уравнение `√2 ⋅ x - √3 ⋅ y = 0` уже представлено в виде `ax + by = c`, где `a = √2`, `b = -√3` и `c = 0`. Переменные `x` и `y` находятся в первой степени. Это линейное уравнение.

Ответ: является линейным уравнением.

е) Упростим левую часть уравнения, используя формулу разности квадратов `x² - y² = (x - y)(x + y)`. Это возможно при условии, что `x - y ≠ 0`, то есть `x ≠ y`.`\frac{(x - y)(x + y)}{x - y} = \frac{4}{9}`.После сокращения дроби на `(x - y)` получаем уравнение `x + y = \frac{4}{9}`.Это уравнение имеет стандартный вид `ax + by = c` (`a=1`, `b=1`, `c = \frac{4}{9}`). Несмотря на исходный вид и область определения, после алгебраического упрощения оно приводится к линейному виду, поэтому его относят к линейным уравнениям.

Ответ: является линейным уравнением.

Таким образом, линейными уравнениями с двумя переменными из представленных являются уравнения б), д) и е).