Номер 53, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

53. Какие из уравнений являются линейными уравнениями с двумя переменными:

а) $xy = 12;$

б) $x + y = \sqrt{6};$

в) $\sqrt{x^2} + \sqrt{y^2} = 4;$

г) $(x - 2)(y + 3) = 0;$

д) $\sqrt{2} \cdot x - \sqrt{3} \cdot y = 0;$

е) $\frac{x^2 - y^2}{x - y} = \frac{4}{9}?$

Линейным уравнением с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнение вида $ax + by = c$, где $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Ключевым признаком является то, что переменные $x$ и $y$ входят в уравнение только в первой степени и не перемножаются друг с другом.

Проанализируем каждое уравнение:

а) Уравнение $xy = 12$ содержит произведение переменных $x$ и $y$. Степень этого члена равна $1+1=2$. Такое уравнение не может быть приведено к стандартному виду $ax + by = c$. Следовательно, оно не является линейным.

Ответ: не является линейным уравнением.

б) Уравнение $x + y = √6$ соответствует стандартному виду $ax + by = c$, где коэффициенты $a=1$, $b=1$ и $c=√6$. Переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени. Следовательно, это линейное уравнение.

Ответ: является линейным уравнением.

в) Учитывая, что $√k² = |k|$, данное уравнение можно переписать в виде $|x| + |y| = 4$. Наличие модулей у переменных $x$ и $y$ делает это уравнение нелинейным. Графиком этого уравнения является квадрат, а не прямая линия.

Ответ: не является линейным уравнением.

г) Раскроем скобки в уравнении $(x - 2)(y + 3) = 0$: $xy + 3x - 2y - 6 = 0$. Поскольку в уравнении присутствует член $xy$ (произведение переменных), оно не является линейным.

Ответ: не является линейным уравнением.

д) Уравнение $√2 ⋅ x - √3 ⋅ y = 0$ уже представлено в виде $ax + by = c$, где $a = √2$, $b = -√3$ и $c = 0$. Переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени. Это линейное уравнение.

Ответ: является линейным уравнением.

е) Упростим левую часть уравнения, используя формулу разности квадратов $x² - y² = (x - y)(x + y)$. Это возможно при условии, что $x - y ≠ 0$, то есть $x ≠ y$.$\frac{(x - y)(x + y)}{x - y} = \frac{4}{9}$.После сокращения дроби на $(x - y)$ получаем уравнение $x + y = \frac{4}{9}$.Это уравнение имеет стандартный вид $ax + by = c$ ($a=1$, $b=1$, $c = \frac{4}{9}$). Несмотря на исходный вид и область определения, после алгебраического упрощения оно приводится к линейному виду, поэтому его относят к линейным уравнениям.

Ответ: является линейным уравнением.

Таким образом, линейными уравнениями с двумя переменными из представленных являются уравнения б), д) и е).