Номер 4, страница 17 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Занимательные задачи. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 4, страница 17.

Условие.

4) Отец разделил несколько яблок детям так. Младшей дочери он дал половину всех яблок и еще половину яблока, старшей дочери – половину оставшихся и еще половину яблока, сыну – половину оставшихся и еще половину яблока. Сколько яблок разделил отец?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения данной задачи мы будем последовательно упрощать выражение, используя свойство степеней $2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$.

Начнем с первых двух членов выражения:

$2^{11} - 2^{10} = 2 \cdot 2^{10} - 1 \cdot 2^{10} = (2-1) \cdot 2^{10} = 2^{10}$.

После этого преобразования исходное выражение принимает вид:

$2^{10} - 2^9 - 2^8 - 2^7 - 2^6 - 2^5 - 2^4 - 2^3 - 2^2 - 2^0$.

Продолжим применять это правило последовательно для каждой следующей пары членов:

$2^{10} - 2^9 = 2^9$

Затем выражение становится $2^9 - 2^8 - 2^7 - ...$ и так далее.

Этот процесс "сворачивания" продолжается следующим образом:

$2^9 - 2^8 = 2^8$

$2^8 - 2^7 = 2^7$

$2^7 - 2^6 = 2^6$

$2^6 - 2^5 = 2^5$

$2^5 - 2^4 = 2^4$

$2^4 - 2^3 = 2^3$

$2^3 - 2^2 = 2^2$

После всех этих шагов от исходного выражения остается только разность $2^2 - 2^0$. Обратите внимание, что член $2^1$ отсутствовал в списке вычитаемых, поэтому процесс остановился именно на этом этапе.

Теперь вычислим конечный результат:

$2^2 - 2^0 = 4 - 1 = 3$.

Ответ: 3