Номер 50, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 50, страница 16.

Условие.

50. Велосипедист едет 5 минут по дороге, идущей в гору, затем – 3 минуты с горы. Обратный путь он преодолевает за 16 минут. Изобразите схематически маршрут движения велосипедиста и установите, во сколько раз быстрее он едет на спуске, чем на подъеме.

Решение.

Решение 2 (rus).

Изобразите схематически маршрут движения велосипедиста

Маршрут велосипедиста состоит из двух участков: подъем и спуск. Обозначим начальную точку как А, вершину горы как В, и конечную точку как С. Схематически маршрут можно изобразить следующим образом:

B (вершина) / \ / \ A C(старт)

Путь "туда" состоит из подъема от А до В (5 минут) и спуска от В до С (3 минуты). Обратный путь состоит из подъема от С до В и спуска от В до А, на что в сумме уходит 16 минут.

Ответ: Схематическое изображение маршрута представлено выше.

Установите, во сколько раз быстрее он едет на спуске, чем на подъеме

Для решения задачи введем следующие обозначения: $v_п$ — скорость велосипедиста на подъеме, $v_с$ — скорость велосипедиста на спуске, $S_п$ — длина участка подъема на пути "туда", $S_с$ — длина участка спуска на пути "туда".

Из условия задачи известны следующие времена: время на подъем "туда" $t_п = 5$ минут, время на спуск "туда" $t_с = 3$ минуты. Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, выразим длины участков через скорости:

$S_п = v_п \cdot 5$

$S_с = v_с \cdot 3$

Общее время на обратный путь составляет $t_{обр} = 16$ минут. На обратном пути участок, который был спуском ($S_с$), становится подъемом, а участок, который был подъемом ($S_п$), становится спуском. Время, затраченное на обратный путь, складывается из времени на подъем и времени на спуск:

$t_{обр} = t_{подъема\_обр} + t_{спуска\_обр}$

Время на подъем на обратном пути (участок $S_с$): $t_{подъема\_обр} = \frac{S_с}{v_п}$

Время на спуск на обратном пути (участок $S_п$): $t_{спуска\_обр} = \frac{S_п}{v_с}$

Подставим все в уравнение для общего времени обратного пути:

$16 = \frac{S_с}{v_п} + \frac{S_п}{v_с}$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $S_п$ и $S_с$, которые мы получили ранее:

$16 = \frac{3v_с}{v_п} + \frac{5v_п}{v_с}$

Мы ищем отношение скорости на спуске к скорости на подъеме, обозначим это отношение как $k = \frac{v_с}{v_п}$. Соответственно, обратное отношение будет $\frac{v_п}{v_с} = \frac{1}{k}$. Заменим отношения скоростей в уравнении на $k$:

$16 = 3k + 5 \cdot \frac{1}{k}$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на $k$ (так как скорость не может быть нулевой, $k \neq 0$):

$16k = 3k^2 + 5$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3k^2 - 16k + 5 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 256 - 60 = 196$

Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$k_1 = \frac{16 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$

$k_2 = \frac{16 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Мы получили два математически верных решения. Однако, по логике задачи, скорость на спуске должна быть выше скорости на подъеме ($v_с > v_п$), следовательно, их отношение $k$ должно быть больше единицы. Этому условию удовлетворяет только корень $k_1 = 5$.

Ответ: На спуске велосипедист едет в 5 раз быстрее, чем на подъеме.