Номер 44, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 44, страница 16.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2 - x$, необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения значения $y$ у функций совпадают.

Получаем уравнение: $\sqrt{x} = 2 - x$.

Прежде чем решать уравнение, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Также, поскольку значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно ($\sqrt{x} \ge 0$), правая часть уравнения тоже должна быть неотрицательной: $2 - x \ge 0$, откуда следует, что $x \le 2$. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ для $x$: $0 \le x \le 2$.

Теперь решим уравнение. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:

$(\sqrt{x})^2 = (2 - x)^2$

$x = 4 - 4x + x^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - x + 4 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($0 \le x \le 2$).

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0 \le 1 \le 2$.

Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $4 > 2$. Этот корень является посторонним, он появился в результате возведения уравнения в квадрат.

Итак, абсцисса точки пересечения равна $x = 1$.

Чтобы найти ординату $y$, подставим это значение в любую из исходных функций:

$y = \sqrt{1} = 1$

Проверка по второй функции: $y = 2 - 1 = 1$.

Координаты точки пересечения: $(1, 1)$.

Ответ: (1, 1)

б) Аналогично найдем координаты точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 6 - x$.

Приравниваем правые части уравнений: $\sqrt{x} = 6 - x$.

Определим ОДЗ: $x \ge 0$ и $6 - x \ge 0$, что дает $x \le 6$. Таким образом, ОДЗ: $0 \le x \le 6$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (6 - x)^2$

$x = 36 - 12x + x^2$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - 12x - x + 36 = 0$

$x^2 - 13x + 36 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 36. Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = 9$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($0 \le x \le 6$).

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0 \le 4 \le 6$.

Корень $x_2 = 9$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $9 > 6$. Это посторонний корень.

Следовательно, абсцисса точки пересечения равна $x = 4$.

Найдем соответствующую ординату $y$, подставив $x = 4$ в любую из функций:

$y = \sqrt{4} = 2$

Проверка по второй функции: $y = 6 - 4 = 2$.

Координаты точки пересечения: $(4, 2)$.

Ответ: (4, 2)