Номер 43, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 43, страница 16.

Условие.

43. Решите систему неравенств:

а)

$\begin{cases} 6x^2 - 5x + 1 \leq 0, \\ 4x - 1 > 0; \end{cases}$

б)

$\begin{cases} 10x^2 - 7x + 1 > 0, \\ 1 - 3x \leq 0. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 6x^2 - 5x + 1 \le 0, \\ 4x - 1 > 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $6x^2 - 5x + 1 \le 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $6x^2 - 5x + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Графиком функции $y = 6x^2 - 5x + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как $a=6 > 0$). Следовательно, квадратичный трехчлен принимает неположительные значения ($ \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.
Решение первого неравенства: $x \in [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$.

2. Решим второе неравенство: $4x - 1 > 0$.
$4x > 1$
$x > \frac{1}{4}$
Решение второго неравенства: $x \in (\frac{1}{4}, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Мы ищем значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \in [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ и $x \in (\frac{1}{4}, +\infty)$.
Сравним дроби: $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ и $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$, следовательно $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$.
Пересечением этих двух множеств является промежуток $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$.

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 10x^2 - 7x + 1 > 0, \\ 1 - 3x \le 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $10x^2 - 7x + 1 > 0$.

Найдем корни уравнения $10x^2 - 7x + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 1 = 49 - 40 = 9$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 10} = \frac{7 - 3}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
Графиком функции $y = 10x^2 - 7x + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=10 > 0$). Значит, трехчлен принимает положительные значения ($ > 0$) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, \frac{1}{5}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $1 - 3x \le 0$.
$1 \le 3x$
$\frac{1}{3} \le x$, или $x \ge \frac{1}{3}$.
Решение второго неравенства: $x \in [\frac{1}{3}, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Мы ищем значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \in (-\infty, \frac{1}{5}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$ и $x \in [\frac{1}{3}, +\infty)$.
Сравним числа: $\frac{1}{5} = \frac{6}{30}$, $\frac{1}{3} = \frac{10}{30}$, $\frac{1}{2} = \frac{15}{30}$. Таким образом, $\frac{1}{5} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$.
Пересечение множества $x \in [\frac{1}{3}, +\infty)$ с промежутком $(-\infty, \frac{1}{5})$ является пустым множеством, так как $\frac{1}{5} < \frac{1}{3}$.
Пересечение множества $x \in [\frac{1}{3}, +\infty)$ с промежутком $(\frac{1}{2}, +\infty)$ равно $(\frac{1}{2}, +\infty)$, так как $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$.
Объединив результаты, получаем итоговое решение системы.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$.