Номер 47, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 47, страница 16.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения значения выражения $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$ без решения уравнения $x^2 - 8x + 10 = 0$ воспользуемся теоремой Виета.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — корни, справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 8x + 10 = 0$ коэффициенты равны $p = -8$ и $q = 10$.

Тогда, согласно теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -(-8) = 8$

$x_1 x_2 = 10$

Теперь преобразуем искомое выражение, приведя дроби к общему знаменателю $x_1 x_2$:

$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2 \cdot x_2}{x_1 x_2} + \frac{x_1 \cdot x_1}{x_1 x_2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1 x_2}$

Значение знаменателя $x_1 x_2$ нам известно, оно равно 10. Теперь нужно найти значение числителя $x_1^2 + x_2^2$. Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся тождеством квадрата суммы:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$

Из этого тождества выразим $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$

Теперь подставим известные нам значения суммы и произведения корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (8)^2 - 2 \cdot 10 = 64 - 20 = 44$

Наконец, подставим полученные значения в преобразованное выражение:

$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{44}{10} = 4.4$

Ответ: 4.4