Номер 45, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 45, страница 16.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения данной задачи мы упростим каждое слагаемое в сумме, избавившись от иррациональности в знаменателе. Заметим, что каждое слагаемое имеет вид $ \frac{4}{\sqrt{a} + \sqrt{a+4}} $. Чтобы упростить такое выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $ \sqrt{a+4} - \sqrt{a} $.

Выполним преобразование для общего члена суммы:$ \frac{4}{\sqrt{a+4} + \sqrt{a}} = \frac{4(\sqrt{a+4} - \sqrt{a})}{(\sqrt{a+4} + \sqrt{a})(\sqrt{a+4} - \sqrt{a})} = \frac{4(\sqrt{a+4} - \sqrt{a})}{(\sqrt{a+4})^2 - (\sqrt{a})^2} = \frac{4(\sqrt{a+4} - \sqrt{a})}{a+4-a} = \frac{4(\sqrt{a+4} - \sqrt{a})}{4} = \sqrt{a+4} - \sqrt{a} $.

Таким образом, каждое слагаемое в исходной сумме можно представить в виде разности двух корней. Применим это преобразование к каждому члену выражения:

$ \frac{4}{\sqrt{4}+\sqrt{8}} = \sqrt{8} - \sqrt{4} $
$ \frac{4}{\sqrt{8}+\sqrt{12}} = \sqrt{12} - \sqrt{8} $
$ \frac{4}{\sqrt{12}+\sqrt{16}} = \sqrt{16} - \sqrt{12} $
...
$ \frac{4}{\sqrt{32}+\sqrt{36}} = \sqrt{36} - \sqrt{32} $

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходную сумму:

$ (\sqrt{8} - \sqrt{4}) + (\sqrt{12} - \sqrt{8}) + (\sqrt{16} - \sqrt{12}) + \dots + (\sqrt{36} - \sqrt{32}) $

Данная сумма является телескопической. Это означает, что при сложении большинство членов взаимно уничтожаются. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$ -\sqrt{4} + (\sqrt{8} - \sqrt{8}) + (\sqrt{12} - \sqrt{12}) + \dots + (\sqrt{32} - \sqrt{32}) + \sqrt{36} $

После сокращения всех промежуточных членов остаются только первый и последний:

$ \sqrt{36} - \sqrt{4} $

Вычислим итоговое значение выражения:

$ 6 - 2 = 4 $

Ответ: 4