Номер 48, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 48, страница 16.

Условие.

48. Решите уравнение:

a) $x^2 - 7|x| = 0$;

б) $x^2 - \frac{5x^2}{|x|} = 0$;

в) $x^2 + 6x + |x + 2| + 8 = 0$;

г) $x^2 - |(\sqrt{-x})^2| - 20 = 0$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $x^2 - 7|x| = 0$

Воспользуемся свойством $x^2 = |x|^2$. Заменим $x^2$ на $|x|^2$ в исходном уравнении:

$|x|^2 - 7|x| = 0$

Вынесем $|x|$ за скобки:

$|x|(|x| - 7) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $|x| = 0$, откуда $x = 0$.

2) $|x| - 7 = 0$, откуда $|x| = 7$. Это уравнение имеет два корня: $x = 7$ и $x = -7$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 7$, $x_3 = -7$.

б) $x^2 - \frac{5x^2}{|x|} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

Используем свойство $x^2 = |x|^2$:

$|x|^2 - \frac{5|x|^2}{|x|} = 0$

Так как $x \neq 0$, то $|x| \neq 0$, и мы можем сократить дробь:

$|x|^2 - 5|x| = 0$

Вынесем $|x|$ за скобки:

$|x|(|x| - 5) = 0$

Получаем два случая:

1) $|x| = 0$, откуда $x = 0$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$), поэтому он является посторонним.

2) $|x| - 5 = 0$, откуда $|x| = 5$. Это уравнение имеет два корня: $x = 5$ и $x = -5$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 5$, $x_2 = -5$.

в) $x^2 + 6x + |x + 2| + 8 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно. $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.

В этом случае $|x + 2| = x + 2$. Уравнение принимает вид:

$x^2 + 6x + (x + 2) + 8 = 0$

$x^2 + 7x + 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$, $x_2 = -5$.

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $x \ge -2$:

$x_1 = -2$ удовлетворяет условию (так как $-2 \ge -2$).

$x_2 = -5$ не удовлетворяет условию (так как $-5 < -2$).

Итак, в первом случае получаем один корень $x = -2$.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно. $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$.

В этом случае $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$. Уравнение принимает вид:

$x^2 + 6x - (x + 2) + 8 = 0$

$x^2 + 5x + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_3 = -2$, $x_4 = -3$.

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $x < -2$:

$x_3 = -2$ не удовлетворяет условию (так как $-2$ не меньше $-2$).

$x_4 = -3$ удовлетворяет условию (так как $-3 < -2$).

Итак, во втором случае получаем один корень $x = -3$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = -3$.

г) $x^2 - |(\sqrt{-x})^2| - 20 = 0$

ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$, откуда $x \le 0$.

Упростим выражение в модуле. По определению арифметического квадратного корня, $(\sqrt{a})^2 = a$ для $a \ge 0$. Так как по ОДЗ $-x \ge 0$, то $(\sqrt{-x})^2 = -x$.

Уравнение принимает вид:

$x^2 - |-x| - 20 = 0$

Используем свойство модуля $|-a| = |a|$:

$x^2 - |x| - 20 = 0$

Так как по ОДЗ $x \le 0$, то $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:

$x^2 - (-x) - 20 = 0$

$x^2 + x - 20 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -5$, $x_2 = 4$.

Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ ($x \le 0$):

$x_1 = -5$ удовлетворяет условию (так как $-5 \le 0$).

$x_2 = 4$ не удовлетворяет условию (так как $4 > 0$).

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = -5$.