Номер 46, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 46, страница 16.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для упрощения выражений вида $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$ используется формула выделения полного квадрата под корнем, основанная на формуле $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Мы ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=A$ и $ab=\sqrt{B}$.
Рассмотрим первое слагаемое $\sqrt{6+2\sqrt{5}}$. Здесь подкоренное выражение имеет вид $A+2\sqrt{B}$, где $A=6, B=5$. Нам нужно найти числа $a$ и $b$, такие что $a^2+b^2=6$ и $ab=\sqrt{5}$. Легко подобрать $a=\sqrt{5}$ и $b=1$.
Проверим: $a^2+b^2 = (\sqrt{5})^2+1^2 = 5+1=6$. Это верно.
Тогда $6+2\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{5}+1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{6+2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+1)^2} = |\sqrt{5}+1| = \sqrt{5}+1$.
Аналогично для второго слагаемого $\sqrt{6-2\sqrt{5}}$:
$6-2\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{5}-1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} = |\sqrt{5}-1| = \sqrt{5}-1$ (так как $\sqrt{5} \approx 2.23 > 1$).
Теперь вычисляем разность:
$\sqrt{6+2\sqrt{5}} - \sqrt{6-2\sqrt{5}} = (\sqrt{5}+1) - (\sqrt{5}-1) = \sqrt{5}+1-\sqrt{5}+1 = 2$.
Ответ: 2

б) Преобразуем подкоренные выражения к виду $A \pm 2\sqrt{B}$, чтобы выделить полный квадрат.
$\sqrt{11-4\sqrt{7}} = \sqrt{11-2 \cdot 2\sqrt{7}} = \sqrt{11-2\sqrt{4 \cdot 7}} = \sqrt{11-2\sqrt{28}}$.
Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=11$ и $ab=\sqrt{28}$. Число 28 можно разложить на множители 7 и 4. Попробуем $a=\sqrt{7}$ и $b=\sqrt{4}=2$.
Проверим: $a^2+b^2 = (\sqrt{7})^2+2^2 = 7+4=11$. Это верно.
Тогда $11-2\sqrt{28} = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{7}-2)^2$.
Следовательно, $\sqrt{11-4\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-2)^2} = |\sqrt{7}-2| = \sqrt{7}-2$ (так как $\sqrt{7} \approx 2.65 > 2$).
Аналогично для второго слагаемого:
$\sqrt{11+4\sqrt{7}} = \sqrt{11+2\sqrt{28}} = \sqrt{(\sqrt{7}+2)^2} = |\sqrt{7}+2| = \sqrt{7}+2$.
Теперь вычисляем сумму:
$\sqrt{11-4\sqrt{7}} + \sqrt{11+4\sqrt{7}} = (\sqrt{7}-2) + (\sqrt{7}+2) = \sqrt{7}-2+\sqrt{7}+2 = 2\sqrt{7}$.
Ответ: $2\sqrt{7}$

в) Упростим выражение по частям.
Первая часть: $(1-2\sqrt{3})^2$. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
$(1-2\sqrt{3})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 = 1 - 4\sqrt{3} + 4 \cdot 3 = 1 - 4\sqrt{3} + 12 = 13 - 4\sqrt{3}$.
Вторая часть: $4\sqrt{28+10\sqrt{3}}$. Упростим подкоренное выражение, приведя его к виду $A+2\sqrt{B}$.
$\sqrt{28+10\sqrt{3}} = \sqrt{28+2 \cdot 5\sqrt{3}} = \sqrt{28+2\sqrt{25 \cdot 3}} = \sqrt{28+2\sqrt{75}}$.
Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=28$ и $ab=\sqrt{75}$. Число 75 можно разложить на множители 25 и 3. Попробуем $a=\sqrt{25}=5$ и $b=\sqrt{3}$.
Проверим: $a^2+b^2 = 5^2+(\sqrt{3})^2 = 25+3=28$. Это верно.
Тогда $28+2\sqrt{75} = (5+\sqrt{3})^2$.
Значит, $\sqrt{28+10\sqrt{3}} = \sqrt{(5+\sqrt{3})^2} = 5+\sqrt{3}$.
Вся вторая часть выражения равна $4(5+\sqrt{3}) = 20+4\sqrt{3}$.
Сложим обе упрощенные части:
$(13 - 4\sqrt{3}) + (20+4\sqrt{3}) = 13 - 4\sqrt{3} + 20 + 4\sqrt{3} = 33$.
Ответ: 33

г) Упростим выражение по частям.
Первая часть: $(3\sqrt{2}+5)^2$. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$(3\sqrt{2}+5)^2 = (3\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 5 + 5^2 = 9 \cdot 2 + 30\sqrt{2} + 25 = 18 + 30\sqrt{2} + 25 = 43 + 30\sqrt{2}$.
Вторая часть: $30\sqrt{51-14\sqrt{2}}$. Упростим подкоренное выражение, приведя его к виду $A-2\sqrt{B}$.
$\sqrt{51-14\sqrt{2}} = \sqrt{51-2 \cdot 7\sqrt{2}} = \sqrt{51-2\sqrt{49 \cdot 2}} = \sqrt{51-2\sqrt{98}}$.
Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=51$ и $ab=\sqrt{98}$. Число 98 можно разложить на множители 49 и 2. Попробуем $a=\sqrt{49}=7$ и $b=\sqrt{2}$.
Проверим: $a^2+b^2=7^2+(\sqrt{2})^2=49+2=51$. Это верно.
Тогда $51-2\sqrt{98} = (7-\sqrt{2})^2$.
Значит, $\sqrt{51-14\sqrt{2}} = \sqrt{(7-\sqrt{2})^2} = |7-\sqrt{2}| = 7-\sqrt{2}$ (так как $7 > \sqrt{2}$).
Вся вторая часть выражения равна $30(7-\sqrt{2}) = 210-30\sqrt{2}$.
Сложим обе упрощенные части:
$(43 + 30\sqrt{2}) + (210-30\sqrt{2}) = 43 + 30\sqrt{2} + 210 - 30\sqrt{2} = 253$.
Ответ: 253