Номер 1, страница 17 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Занимательные задачи. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 1, страница 17.

Условие.

1) Средняя цифра трехзначного числа равна сумме крайних.

Сумма этого числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, равна четырехзначному числу. Найдите четырехзначное число.

Решение.

Решение 2 (rus).

Согласно условию задачи, введем прямоугольную систему координат. Отрезок проволоки $AB$ лежит на оси $Ox$. Длина этого отрезка составляет 4 м, а его середина находится в начале координат $O(0, 0)$. Следовательно, колышки $A$ и $B$ имеют координаты $A(-2, 0)$ и $B(2, 0)$.

Колечко, к которому привязана коза, может скользить по проволоке, то есть по отрезку $AB$. Обозначим положение колечка как точку $C$. Координаты точки $C$ будут $(x_c, 0)$, где $-2 \le x_c \le 2$.

Коза привязана к колечку $C$ веревкой длиной 3 м. Это означает, что для любого положения колечка $C$ коза может дотянуться до любой точки $M(x, y)$, расстояние от которой до точки $C$ не превышает 3 м. Математически это выражается неравенством:

$\sqrt{(x - x_c)^2 + (y - 0)^2} \le 3$

или

$(x - x_c)^2 + y^2 \le 9$

Это неравенство описывает круг с центром в точке $C(x_c, 0)$ и радиусом 3.

Множество всех точек пастбища — это объединение всех таких кругов для всех возможных положений точки $C$ на отрезке $AB$, то есть для всех $x_c$ из отрезка $[-2, 2]$.

Для построения искомой фигуры проанализируем ее границы.

1. Крайние положения. Когда колечко находится в крайнем левом положении, в точке $A(-2, 0)$, область доступа козы — это круг, заданный уравнением $(x+2)^2 + y^2 \le 9$. Когда колечко находится в крайнем правом положении, в точке $B(2, 0)$, область доступа — это круг $(x-2)^2 + y^2 \le 9$.

2. Промежуточные положения. Когда колечко $C(x_c, 0)$ движется по отрезку $AB$ от $A$ до $B$, круги радиусом 3 "заметают" искомую область. Граница этой области будет состоять из частей границ крайних кругов и огибающей семейства всех кругов.

3. Верхняя и нижняя границы. Для любого положения колечка $C(x_c, 0)$ на отрезке $[-2, 2]$ самые высокие и самые низкие точки, до которых может дотянуться коза, находятся на вертикальной прямой, проходящей через $C$, на расстоянии 3 м. Их координаты $(x_c, 3)$ и $(x_c, -3)$. Поскольку $x_c$ может принимать любое значение от -2 до 2, верхняя граница фигуры на этом участке будет представлять собой отрезок прямой $y=3$ при $x \in [-2, 2]$. Аналогично, нижняя граница — это отрезок прямой $y=-3$ при $x \in [-2, 2]$.

4. Левая и правая границы. Левая граница всей фигуры определяется самым левым кругом, то есть кругом с центром в $A(-2, 0)$. Это будет левая полуокружность этого круга: $(x+2)^2 + y^2 = 9$ при $x \le -2$. Правая граница определяется самым правым кругом, с центром в $B(2, 0)$. Это будет правая полуокружность этого круга: $(x-2)^2 + y^2 = 9$ при $x \ge 2$.

Таким образом, искомая фигура состоит из:

• Прямоугольника с вершинами в точках $(-2, -3)$, $(2, -3)$, $(2, 3)$ и $(-2, 3)$.

• Полукруга радиусом 3 с центром в точке $A(-2, 0)$, примыкающего к левой стороне прямоугольника.

• Полукруга радиусом 3 с центром в точке $B(2, 0)$, примыкающего к правой стороне прямоугольника.

Построение фигуры:

1. Начертите оси координат $Ox$ и $Oy$.

2. Отметьте на оси $Ox$ точки $A(-2, 0)$ и $B(2, 0)$.

3. Постройте прямоугольник, ограниченный прямыми $x=-2$, $x=2$, $y=-3$, $y=3$.

4. С центром в точке $A(-2, 0)$ проведите полуокружность радиусом 3 слева от прямой $x=-2$. Она соединит точки $(-2, -3)$ и $(-2, 3)$.

5. С центром в точке $B(2, 0)$ проведите полуокружность радиусом 3 справа от прямой $x=2$. Она соединит точки $(2, -3)$ и $(2, 3)$.

Полученная фигура (стадион) и есть искомое множество точек.

Ответ: Фигура, изображающая множество всех точек пастбища, представляет собой прямоугольник с вершинами в точках $(-2, 3), (2, 3), (2, -3), (-2, -3)$, к левой и правой сторонам которого присоединены два полукруга радиусом 3 с центрами в точках $A(-2, 0)$ и $B(2, 0)$ соответственно.