Номер 55, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 55, страница 23.

Условие.

55. Найдите две пары чисел (x; y), которые являются решениями

уравнения $2x - 5y = 16$ и принадлежат множеству:

а) целых;

б) натуральных;

в) иррациональных чисел.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи выразим одну переменную через другую из уравнения $2x - 5y = 16$.

$5y = 2x - 16$

$y = \frac{2x - 16}{5}$

Теперь найдем по две пары решений для каждого случая.

а) целых
Чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы числитель $(2x - 16)$ был кратен 5. Это выполняется, если число $2x$ оканчивается на 6 (поскольку $2x - 16$ должно оканчиваться на 0 или 5, а 16 оканчивается на 6, то $2x$ должно оканчиваться на 1 или 6; так как $2x$ - четное, оно оканчивается на 6). Следовательно, целое число $x$ должно оканчиваться на 3 или 8.
1. Возьмем $x = 8$. Тогда $y = \frac{2 \cdot 8 - 16}{5} = \frac{16 - 16}{5} = 0$. Первая пара – $(8; 0)$.
2. Возьмем $x = 3$. Тогда $y = \frac{2 \cdot 3 - 16}{5} = \frac{6 - 16}{5} = \frac{-10}{5} = -2$. Вторая пара – $(3; -2)$.

Ответ: $(8; 0)$ и $(3; -2)$.

б) натуральных
Натуральные числа – это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$). Значит, мы ищем такие решения, где $x > 0$ и $y > 0$. Условие $y > 0$ означает, что $\frac{2x - 16}{5} > 0$, откуда $2x - 16 > 0$, или $x > 8$.
Нам нужны целые значения $x$, которые больше 8 и оканчиваются на 3 или 8.
1. Возьмем наименьшее такое $x$, то есть $x = 13$. Тогда $y = \frac{2 \cdot 13 - 16}{5} = \frac{26 - 16}{5} = \frac{10}{5} = 2$. Первая пара – $(13; 2)$.
2. Возьмем следующее значение $x = 18$. Тогда $y = \frac{2 \cdot 18 - 16}{5} = \frac{36 - 16}{5} = \frac{20}{5} = 4$. Вторая пара – $(18; 4)$.

Ответ: $(13; 2)$ и $(18; 4)$.

в) иррациональных чисел
Чтобы найти пару иррациональных решений, можно выбрать произвольное иррациональное число для одной из переменных. Если мы выберем иррациональное $x$, то $y$, вычисленный по формуле $y = \frac{2x - 16}{5}$, также будет иррациональным.
1. Возьмем в качестве $x$ иррациональное число $\sqrt{2}$. Тогда $y = \frac{2\sqrt{2} - 16}{5}$. Первая пара – $(\sqrt{2}; \frac{2\sqrt{2} - 16}{5})$.
2. Возьмем в качестве $x$ иррациональное число $\pi$. Тогда $y = \frac{2\pi - 16}{5}$. Вторая пара – $(\pi; \frac{2\pi - 16}{5})$.

Ответ: $(\sqrt{2}; \frac{2\sqrt{2} - 16}{5})$ и $(\pi; \frac{2\pi - 16}{5})$.