Номер 58, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Нелинейные уравнения с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 58, страница 23.

Условие.

58. Один из катетов прямоугольного треугольника равен $\sqrt{2}$ дм. Составьте уравнение с двумя переменными для нахождения неизвестных сторон этого треугольника. Исследуйте, могут ли его гипотенуза и второй катет быть соответственно равными:

а) 1,5 дм и 0,5 дм;

б) 3 дм и $\sqrt{7}$ дм.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Пусть один катет равен $a$, второй катет — $b$, а гипотенуза — $c$. Тогда $a^2 + b^2 = c^2$.

По условию, один из катетов равен $\sqrt{2}$ дм. Обозначим длину второго, неизвестного, катета как $x$ дм, а длину гипотенузы — как $y$ дм. Тогда, согласно теореме Пифагора, мы можем составить уравнение с двумя переменными:

$(\sqrt{2})^2 + x^2 = y^2$

Упростим это выражение:

$2 + x^2 = y^2$

Это и есть искомое уравнение. Его можно также записать в виде $y^2 - x^2 = 2$. Важно помнить, что длины сторон треугольника должны быть положительными ($x > 0$, $y > 0$), а гипотенуза всегда длиннее любого из катетов ($y > x$ и $y > \sqrt{2}$).

Теперь исследуем предложенные значения.

а) 1,5 дм и 0,5 дм

Проверим, могут ли гипотенуза ($y$) и второй катет ($x$) быть равными соответственно $1,5$ дм и $0,5$ дм. Подставим эти значения в наше уравнение $y^2 - x^2 = 2$.

$(1,5)^2 - (0,5)^2 = 2,25 - 0,25 = 2$.

Равенство $2=2$ является верным, значит, эти значения удовлетворяют уравнению. Также необходимо проверить, что гипотенуза ($1,5$ дм) больше каждого из катетов. Условие $1,5 > 0,5$ выполнено. Проверим второе условие: $1,5 > \sqrt{2}$. Возведем обе части в квадрат: $(1,5)^2 = 2,25$, а $(\sqrt{2})^2 = 2$. Так как $2,25 > 2$, то и $1,5 > \sqrt{2}$. Все условия соблюдены.Ответ: Да, могут.

б) 3 дм и $\sqrt{7}$ дм

Проверим, могут ли гипотенуза ($y$) и второй катет ($x$) быть равными соответственно $3$ дм и $\sqrt{7}$ дм. Подставим эти значения в уравнение $y^2 - x^2 = 2$.

$3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9 - 7 = 2$.

Равенство $2=2$ является верным. Теперь проверим, что гипотенуза ($3$ дм) длиннее каждого из катетов ($\sqrt{7}$ дм и $\sqrt{2}$ дм). Условие $3 > \sqrt{7}$ выполняется, так как $3^2=9$, а $(\sqrt{7})^2=7$, и $9 > 7$. Условие $3 > \sqrt{2}$ также выполняется, так как $3^2=9$, а $(\sqrt{2})^2=2$, и $9 > 2$. Все условия соблюдены.Ответ: Да, могут.