Номер 848, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

31. Первоначальные понятия теории вероятностей. Классическое определение понятия вероятности. V. Элементы теории вероятностей - номер 848, страница 235.

Условие.

848. Какова вероятность того, что наугад выбранный делитель числа 210 окажется простым числом?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения вероятности того, что наугад выбранный делитель числа 210 окажется простым числом, необходимо определить общее количество делителей этого числа и количество простых чисел среди них.

Шаг 1: Нахождение общего количества делителей.

Сначала разложим число 210 на простые множители.$210 = 10 \cdot 21 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 7)$.Каноническое разложение числа 210 имеет вид: $210 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1$.

Общее количество натуральных делителей числа, представленного в виде произведения простых множителей в степенях $p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$, вычисляется по формуле $N = (a_1+1)(a_2+1)\dots(a_k+1)$.Для числа 210 количество делителей $N$ равно:$N = (1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.Таким образом, общее число всех возможных исходов (всех делителей) равно 16.

Шаг 2: Нахождение количества простых делителей.

Теперь найдем количество благоприятных исходов. Благоприятный исход — это выбор делителя, который является простым числом. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.Из разложения на простые множители видно, что простыми делителями числа 210 являются числа 2, 3, 5 и 7.Следовательно, количество благоприятных исходов $m$ равно 4.

Шаг 3: Вычисление вероятности.

Вероятность $P$ события вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $N$:$P = \frac{m}{N}$.Подставляя найденные значения, получаем:$P = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$