Номер 851, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

31. Первоначальные понятия теории вероятностей. Классическое определение понятия вероятности. V. Элементы теории вероятностей - номер 851, страница 235.

Условие.

851. Из пяти отрезков длиной 1 см, 3 см, 5 см, 7 см, 9 см выбираются наугад три. Какова вероятность того, что из них можно построить треугольник?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала найдем общее число способов выбрать 3 отрезка из 5 данных. Это число сочетаний из 5 элементов по 3, так как порядок выбора отрезков не важен. Формула для числа сочетаний:

$N = C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=5$ и $k=3$:

$N = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{3! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$.

Таким образом, существует 10 различных способов выбрать три отрезка.

Теперь определим, из каких наборов отрезков можно построить треугольник. Согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Для отрезков с длинами $a, b, c$, где $a \le b \le c$, достаточно проверить выполнение одного условия: $a + b > c$.

Перечислим все 10 возможных комбинаций длин отрезков и проверим для каждой из них неравенство треугольника:

1. {1, 3, 5} → $1 + 3 = 4$, а $4 \ngtr 5$. Треугольник построить нельзя.

2. {1, 3, 7} → $1 + 3 = 4$, а $4 \ngtr 7$. Треугольник построить нельзя.

3. {1, 3, 9} → $1 + 3 = 4$, а $4 \ngtr 9$. Треугольник построить нельзя.

4. {1, 5, 7} → $1 + 5 = 6$, а $6 \ngtr 7$. Треугольник построить нельзя.

5. {1, 5, 9} → $1 + 5 = 6$, а $6 \ngtr 9$. Треугольник построить нельзя.

6. {1, 7, 9} → $1 + 7 = 8$, а $8 \ngtr 9$. Треугольник построить нельзя.

7. {3, 5, 7} → $3 + 5 = 8$, а $8 > 7$. Треугольник построить можно.

8. {3, 5, 9} → $3 + 5 = 8$, а $8 \ngtr 9$. Треугольник построить нельзя.

9. {3, 7, 9} → $3 + 7 = 10$, а $10 > 9$. Треугольник построить можно.

10. {5, 7, 9} → $5 + 7 = 12$, а $12 > 9$. Треугольник построить можно.

Число благоприятных исходов (комбинаций, из которых можно построить треугольник) равно $m = 3$.

Теперь найдем искомую вероятность:

$P = \frac{m}{N} = \frac{3}{10} = 0,3$.

Ответ: 0,3.