Номер 852, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

31. Первоначальные понятия теории вероятностей. Классическое определение понятия вероятности. V. Элементы теории вероятностей - номер 852, страница 235.

Условие.

852. Набирая номер телефона, человек забыл две последние цифры, которые различны. Какова вероятность того, что он выберет эти цифры?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ – общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала определим общее число исходов $N$. Человек забыл две последние цифры, но помнит, что они различны. Всего существует 10 арабских цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Поскольку порядок цифр в телефонном номере важен (например, комбинации 12 и 21 являются разными), нам нужно найти общее число упорядоченных пар различных цифр. Это является задачей на нахождение числа размещений.

Первую из двух забытых цифр (предпоследнюю) можно выбрать 10 способами.

Так как по условию цифры должны быть различны, вторую (последнюю) цифру можно выбрать уже из оставшихся 9 цифр. Следовательно, для выбора второй цифры остается 9 способов.

Общее число возможных комбинаций для двух последних различных цифр равно произведению числа способов выбора каждой цифры:

$N = 10 \times 9 = 90$

Это же значение можно получить, используя формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=10$ (всего цифр) и $k=2$ (забытые цифры):

$N = A_{10}^2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8!} = 90$

Таким образом, существует 90 возможных вариантов для двух последних цифр.

Теперь определим число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это выбор единственной верной комбинации двух цифр. Следовательно, $m=1$.

Теперь можем рассчитать искомую вероятность:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{90}$

Ответ: $\frac{1}{90}$