Номер 850, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

31. Первоначальные понятия теории вероятностей. Классическое определение понятия вероятности. V. Элементы теории вероятностей - номер 850, страница 235.

Условие.

850. Среди 100 ламп 4 неисправные. Какова вероятность того, что наудачу выбранные 3 лампы исправные?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

В условии дано:

• Всего ламп: $N = 100$
• Неисправных ламп: $D = 4$
• Исправных ламп: $W = 100 - 4 = 96$
• Нужно выбрать: $k = 3$ лампы

Событие A, вероятность которого нужно найти, заключается в том, что все 3 выбранные лампы являются исправными.

Шаг 1: Определение общего числа исходов.

Общее число исходов — это количество способов выбрать 3 лампы из 100 имеющихся. Поскольку порядок выбора не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Общее число возможных способов выбора 3 ламп из 100 равно:

$n = C_{100}^3 = \frac{100!}{3!(100-3)!} = \frac{100!}{3!97!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 50 \cdot 33 \cdot 98 = 161700$

Таким образом, существует 161 700 способов выбрать 3 лампы из 100.

Шаг 2: Определение числа благоприятных исходов.

Благоприятный исход — это выбор 3 исправных ламп. В наличии 96 исправных ламп. Число способов выбрать 3 исправные лампы из 96 также определяется по формуле сочетаний:

$m = C_{96}^3 = \frac{96!}{3!(96-3)!} = \frac{96!}{3!93!} = \frac{96 \cdot 95 \cdot 94}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 16 \cdot 95 \cdot 47 = 142880$

Таким образом, существует 142 880 способов выбрать 3 исправные лампы.

Шаг 3: Расчет вероятности.

Вероятность события A (выбрать 3 исправные лампы) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{C_{96}^3}{C_{100}^3} = \frac{142880}{161700}$

Сократим полученную дробь:

$P(A) = \frac{14288}{16170} = \frac{7144}{8085}$

Альтернативный способ решения (через условную вероятность):

Можно рассматривать выбор ламп как последовательные события.

1. Вероятность того, что первая взятая лампа исправна: $P_1 = \frac{96}{100}$.

2. После того, как взяли одну исправную лампу, осталось 99 ламп, из которых 95 исправны. Вероятность того, что вторая лампа тоже исправна: $P_2 = \frac{95}{99}$.

3. После двух исправных осталось 98 ламп, из них 94 исправны. Вероятность того, что третья лампа исправна: $P_3 = \frac{94}{98}$.

Итоговая вероятность является произведением вероятностей этих трех событий:

$P(A) = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = \frac{96}{100} \cdot \frac{95}{99} \cdot \frac{94}{98} = \frac{24}{25} \cdot \frac{95}{99} \cdot \frac{47}{49} = \frac{7144}{8085}$

Приблизительное значение вероятности составляет $P(A) \approx 0.8836$.

Ответ: $\frac{7144}{8085}$