Номер 914, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Числовые и алгебраические выражения и их преобразования. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 914, страница 251.

Условие.

914. Вычислите:

$\frac{7}{1 \cdot 8} + \frac{7}{8 \cdot 15} + \frac{7}{15 \cdot 22} + \dots + \frac{7}{57 \cdot 64}$

Решение.

Решение 2 (rus).

Данная сумма представляет собой сумму дробей, знаменатели которых являются произведением двух чисел. Заметим, что в каждой дроби разность сомножителей в знаменателе равна числителю:

$8 - 1 = 7$

$15 - 8 = 7$

$22 - 15 = 7$

...и так далее до последнего члена...

$64 - 57 = 7$

Это позволяет нам представить каждое слагаемое в виде разности двух дробей, используя формулу: $\frac{k}{a \cdot (a+k)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+k}$.

Применим это правило к каждому слагаемому в выражении:

Первый член: $\frac{7}{1 \cdot 8} = \frac{1}{1} - \frac{1}{8}$

Второй член: $\frac{7}{8 \cdot 15} = \frac{1}{8} - \frac{1}{15}$

Третий член: $\frac{7}{15 \cdot 22} = \frac{1}{15} - \frac{1}{22}$

И так далее до последнего члена:

Последний член: $\frac{7}{57 \cdot 64} = \frac{1}{57} - \frac{1}{64}$

Теперь мы можем переписать исходную сумму, подставив в нее полученные разности:

$S = (\frac{1}{1} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{15}) + (\frac{1}{15} - \frac{1}{22}) + ... + (\frac{1}{57} - \frac{1}{64})$

Эта сумма является телескопической, так как все промежуточные члены взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{8}$ сокращается с $+\frac{1}{8}$, $-\frac{1}{15}$ с $+\frac{1}{15}$ и так далее. В результате остаются только первый член из первой скобки и последний член из последней скобки.

$S = \frac{1}{1} - \frac{1}{64}$

Вычислим итоговое значение:

$S = 1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

Ответ: $\frac{63}{64}$