Номер 915, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Числовые и алгебраические выражения и их преобразования. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 915, страница 251.

Условие.

915. Известно, что $x + y = \sqrt{44}$, $x - y = \sqrt{52}$. Найдите $x^3 + y^3$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения значения выражения $x^3 + y^3$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Из условия задачи нам дано значение суммы $x + y = \sqrt{44}$. Осталось найти значение выражения $x^2 - xy + y^2$.

Для этого воспользуемся двумя данными нам уравнениями. Возведем каждое из них в квадрат:

1. $(x + y)^2 = (\sqrt{44})^2$, что дает $x^2 + 2xy + y^2 = 44$.

2. $(x - y)^2 = (\sqrt{52})^2$, что дает $x^2 - 2xy + y^2 = 52$.

Теперь у нас есть система из двух новых уравнений. Чтобы найти произведение $xy$, вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 44 - 52$

$4xy = -8$

$xy = -2$

Чтобы найти сумму квадратов $x^2 + y^2$, сложим эти два уравнения:

$(x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) = 44 + 52$

$2x^2 + 2y^2 = 96$

$x^2 + y^2 = 48$

Теперь мы можем вычислить значение выражения $x^2 - xy + y^2$:

$x^2 - xy + y^2 = (x^2 + y^2) - xy = 48 - (-2) = 48 + 2 = 50$.

Наконец, подставим все найденные значения в исходную формулу суммы кубов:

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = \sqrt{44} \cdot 50$.

Упростим полученный результат:

$50 \cdot \sqrt{44} = 50 \cdot \sqrt{4 \cdot 11} = 50 \cdot 2\sqrt{11} = 100\sqrt{11}$.

Ответ: $100\sqrt{11}$.