Номер 909, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Числовые и алгебраические выражения и их преобразования. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 909, страница 251.

Условие.

909. Найдите значение выражения:

а) $\frac{a^{-2} b^{-1} + a^{-1} b^{-2}}{a^{-2} - b^{-2}}$, если $a = 2,5$, $b = -4,5$;

б) $\frac{\sqrt{x}}{1 - x\sqrt{x}} : \frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x} + x + 1}$, если $x = 0,5$;

в) $\frac{a^2 + ab + b^2}{2ab - b^2}$, если $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Сначала упростим данное выражение. Преобразуем числитель и знаменатель, используя свойство степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

Числитель: $a^{-2}b^{-1} + a^{-1}b^{-2} = \frac{1}{a^2 b} + \frac{1}{a b^2}$. Приведем к общему знаменателю $a^2 b^2$: $\frac{b}{a^2 b^2} + \frac{a}{a^2 b^2} = \frac{a+b}{a^2 b^2}$.

Знаменатель: $a^{-2} - b^{-2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$. Приведем к общему знаменателю $a^2 b^2$: $\frac{b^2}{a^2 b^2} - \frac{a^2}{a^2 b^2} = \frac{b^2 - a^2}{a^2 b^2}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{a^{-2}b^{-1} + a^{-1}b^{-2}}{a^{-2} - b^{-2}} = \frac{\frac{a+b}{a^2 b^2}}{\frac{b^2 - a^2}{a^2 b^2}} = \frac{a+b}{a^2 b^2} \cdot \frac{a^2 b^2}{b^2 - a^2} = \frac{a+b}{b^2 - a^2}$.

Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$: $\frac{a+b}{(b-a)(b+a)}$.

Сократим дробь на $(a+b)$, при условии что $a+b \neq 0$: $\frac{1}{b-a}$.

Подставим заданные значения $a = 2,5$ и $b = -4,5$. Проверим условие $a+b \neq 0$: $2,5 + (-4,5) = -2 \neq 0$. Условие выполняется.

Вычисляем значение выражения: $\frac{1}{b-a} = \frac{1}{-4,5 - 2,5} = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}$.

Ответ: $-\frac{1}{7}$.

б)

Сначала упростим выражение $\frac{\sqrt{x}}{1-x\sqrt{x}} : \frac{\sqrt{x}+x}{\sqrt{x}+x+1}$. Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{\sqrt{x}}{1-x\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}+x+1}{\sqrt{x}+x}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности кубов $1-x\sqrt{x} = 1 - (\sqrt{x})^3 = (1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}+(\sqrt{x})^2) = (1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}+x)$.

Разложим на множители знаменатель второй дроби, вынеся общий множитель: $\sqrt{x}+x = \sqrt{x}(1+\sqrt{x})$.

Выражение примет вид:

$\frac{\sqrt{x}}{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}+x)} \cdot \frac{1+\sqrt{x}+x}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}$

Сократим общие множители $\sqrt{x}$ и $(1+\sqrt{x}+x)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{1-\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{1+\sqrt{x}} = \frac{1}{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}$

Применим формулу разности квадратов $(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}) = 1^2 - (\sqrt{x})^2 = 1-x$. Получим: $\frac{1}{1-x}$.

Теперь подставим значение $x = 0,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{1-0,5} = \frac{1}{0,5} = 2$.

Ответ: 2.

в)

Дано выражение $\frac{a^2+ab+b^2}{2ab-b^2}$ и соотношение $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$.

Значение выражения зависит только от отношения переменных. Чтобы использовать данное соотношение, разделим числитель и знаменатель дроби на $b^2$. Это возможно, так как из $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ следует, что $b \neq 0$.

$\frac{\frac{a^2+ab+b^2}{b^2}}{\frac{2ab-b^2}{b^2}} = \frac{\frac{a^2}{b^2} + \frac{ab}{b^2} + \frac{b^2}{b^2}}{\frac{2ab}{b^2} - \frac{b^2}{b^2}} = \frac{(\frac{a}{b})^2 + \frac{a}{b} + 1}{2\frac{a}{b} - 1}$.

Теперь подставим значение $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ в полученное выражение:

$\frac{(\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2} + 1}{2(\frac{3}{2}) - 1} = \frac{\frac{9}{4} + \frac{3}{2} + 1}{3 - 1}$.

Вычислим числитель: $\frac{9}{4} + \frac{3}{2} + 1 = \frac{9}{4} + \frac{6}{4} + \frac{4}{4} = \frac{9+6+4}{4} = \frac{19}{4}$.

Вычислим знаменатель: $3 - 1 = 2$.

Найдем значение всей дроби: $\frac{\frac{19}{4}}{2} = \frac{19}{4 \cdot 2} = \frac{19}{8}$.

Ответ: $\frac{19}{8}$.