Номер 902, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Числовые и алгебраические выражения и их преобразования. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 902, страница 250.

Условие.

902. Вычислите:

а) $\frac{2 \cdot 4^{-2} + \left(\frac{1}{\sqrt{81}}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{-3}}{\frac{1}{\sqrt{25}} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} + (\sqrt{3})^0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}}$

б) $\frac{3 \cdot 9^{-2} + \left(\frac{1}{\sqrt{64}}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{-4}}{\frac{1}{\sqrt{49}} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{-2} + (\sqrt{5})^0 \cdot \left(\frac{1}{21}\right)^{-1}}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для вычисления значения выражения$ \frac{2 \cdot 4^{-2} + \left(\frac{1}{\sqrt{81}}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{-3}}{\frac{1}{\sqrt{25}} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} + (\sqrt{3})^0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}} $разобьем решение на несколько шагов: сначала упростим числитель, затем знаменатель, и в конце найдем их частное.

1. Вычислим значение числителя: $2 \cdot 4^{-2} + \left(\frac{1}{\sqrt{81}}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{-3}$.

Используем свойства степеней: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.

Первое слагаемое: $2 \cdot 4^{-2} = 2 \cdot \frac{1}{4^2} = 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

Второе слагаемое: $\left(\frac{1}{\sqrt{81}}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{-3}$. Так как $\sqrt{81}=9$, выражение принимает вид $\left(\frac{1}{9}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{-3}$. Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем $\left(\frac{1}{9}\right)^{3-3} = \left(\frac{1}{9}\right)^0 = 1$.

Сумма в числителе: $\frac{1}{8} + 1 = \frac{1}{8} + \frac{8}{8} = \frac{9}{8}$.

2. Вычислим значение знаменателя: $\frac{1}{\sqrt{25}} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} + (\sqrt{3})^0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$.

Используем свойства степеней: $a^0 = 1$ (для $a \neq 0$) и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Первое слагаемое: $\frac{1}{\sqrt{25}} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = \frac{1}{5} \cdot 5^2 = \frac{1}{5} \cdot 25 = 5$.

Второе слагаемое: $(\sqrt{3})^0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 1 \cdot 2^2 = 1 \cdot 4 = 4$.

Сумма в знаменателе: $5 + 4 = 9$.

3. Найдем частное числителя и знаменателя:

$\frac{\frac{9}{8}}{9} = \frac{9}{8} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

б)

Для вычисления значения выражения$ \frac{3 \cdot 9^{-2} + \left(\frac{1}{\sqrt{64}}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{-4}}{\frac{1}{\sqrt{49}} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{-2} + (\sqrt{5})^0 \cdot \left(\frac{1}{21}\right)^{-1}} $также решим по частям.

Заметим, что в числителе выражение $\left(\frac{1}{\sqrt{64}}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{-4}$ содержит разные основания ($\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{9}$), что не приводит к простому сокращению, в отличие от примера а). Вероятно, в условии допущена опечатка. По аналогии с примером а), где $\frac{1}{\sqrt{81}}=\frac{1}{9}$ и второй множитель также содержал основание $\frac{1}{9}$, в данном примере $\frac{1}{\sqrt{64}}=\frac{1}{8}$. Логично предположить, что второй множитель должен быть $\left(\frac{1}{8}\right)^{-4}$. Решим задачу с этим исправлением.

1. Вычислим значение числителя (с исправлением): $3 \cdot 9^{-2} + \left(\frac{1}{\sqrt{64}}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{-4}$.

Первое слагаемое: $3 \cdot 9^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{9^2} = 3 \cdot \frac{1}{81} = \frac{3}{81} = \frac{1}{27}$.

Второе слагаемое: $\left(\frac{1}{\sqrt{64}}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{-4} = \left(\frac{1}{8}\right)^4 \cdot 8^4 = \left(\frac{1}{8} \cdot 8\right)^4 = 1^4 = 1$.

Сумма в числителе: $\frac{1}{27} + 1 = \frac{1}{27} + \frac{27}{27} = \frac{28}{27}$.

2. Вычислим значение знаменателя: $\frac{1}{\sqrt{49}} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{-2} + (\sqrt{5})^0 \cdot \left(\frac{1}{21}\right)^{-1}$.

Первое слагаемое: $\frac{1}{\sqrt{49}} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{-2} = \frac{1}{7} \cdot 7^2 = \frac{1}{7} \cdot 49 = 7$.

Второе слагаемое: $(\sqrt{5})^0 \cdot \left(\frac{1}{21}\right)^{-1} = 1 \cdot 21^1 = 21$.

Сумма в знаменателе: $7 + 21 = 28$.

3. Найдем частное числителя и знаменателя:

$\frac{\frac{28}{27}}{28} = \frac{28}{27} \cdot \frac{1}{28} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$.