Номер 904, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Числовые и алгебраические выражения и их преобразования. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 904, страница 250.

Условие.

904. Сократите дробь:

а) $ \frac{25x^2 - 10xy + y^2}{y^2 - 25x^2} $;

б) $ \frac{x - 6\sqrt{xy} + 9y}{\sqrt{x} - 3\sqrt{y}} $;

В) $ \frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 8x + 15} $;

Г) $ \frac{8x^2 - 2x - 1}{16x^2 + 8x + 1} $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дана дробь $\frac{25x^2 - 10xy + y^2}{y^2 - 25x^2}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $25x^2 - 10xy + y^2$ является полным квадратом разности. Используем формулу сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = 5x$ и $b = y$, поэтому:
$25x^2 - 10xy + y^2 = (5x-y)^2$.
Знаменатель $y^2 - 25x^2$ является разностью квадратов. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В данном случае $a = y$ и $b = 5x$, поэтому:
$y^2 - 25x^2 = (y-5x)(y+5x)$.
Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(5x-y)^2}{(y-5x)(y+5x)}$
Так как $(5x-y)^2 = (-(y-5x))^2 = (y-5x)^2$, мы можем переписать дробь следующим образом:
$\frac{(y-5x)^2}{(y-5x)(y+5x)} = \frac{(y-5x)(y-5x)}{(y-5x)(y+5x)}$
Сократим общий множитель $(y-5x)$:
$\frac{y-5x}{y+5x}$.
Ответ: $\frac{y-5x}{y+5x}$

б)

Дана дробь $\frac{x - 6\sqrt{xy} + 9y}{\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}$.
Предполагается, что $x \ge 0$, $y \ge 0$ и знаменатель не равен нулю.
Числитель $x - 6\sqrt{xy} + 9y$ можно представить как полный квадрат разности. Обозначим $a = \sqrt{x}$ и $b = 3\sqrt{y}$. Тогда $a^2 = x$, $b^2 = (3\sqrt{y})^2 = 9y$ и $2ab = 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 3\sqrt{y} = 6\sqrt{xy}$.
Таким образом, числитель соответствует формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и равен $(\sqrt{x} - 3\sqrt{y})^2$.
Подставим это выражение в дробь:
$\frac{(\sqrt{x} - 3\sqrt{y})^2}{\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} - 3\sqrt{y})$:
$\sqrt{x} - 3\sqrt{y}$.
Ответ: $\sqrt{x} - 3\sqrt{y}$

в)

Дана дробь $\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 8x + 15}$.
Разложим на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе. Для этого найдем их корни.
Для числителя решим уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = 4$.
Следовательно, $x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$.
Для знаменателя решим уравнение $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.
Следовательно, $x^2 - 8x + 15 = (x-3)(x-5)$.
Теперь запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:
$\frac{(x-3)(x-4)}{(x-3)(x-5)}$
Сократим общий множитель $(x-3)$:
$\frac{x-4}{x-5}$.
Ответ: $\frac{x-4}{x-5}$

г)

Дана дробь $\frac{8x^2 - 2x - 1}{16x^2 + 8x + 1}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Знаменатель $16x^2 + 8x + 1$ является полным квадратом суммы. Используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a = 4x$ и $b = 1$.
$16x^2 + 8x + 1 = (4x+1)^2$.
Для разложения числителя $8x^2 - 2x - 1$ решим квадратное уравнение $8x^2 - 2x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2+6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2-6}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$.
Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$8(x-\frac{1}{2})(x-(-\frac{1}{4})) = 8(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{4}) = 2 \cdot (x-\frac{1}{2}) \cdot 4 \cdot (x+\frac{1}{4}) = (2x-1)(4x+1)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(2x-1)(4x+1)}{(4x+1)^2}$
Сократим общий множитель $(4x+1)$:
$\frac{2x-1}{4x+1}$.
Ответ: $\frac{2x-1}{4x+1}$