Номер 901, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Числовые и алгебраические выражения и их преобразования. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 901, страница 250.

Условие.

901. Докажите, что при любом целом $n$ верно равенство:

a) $3^{4n} + 9^{2n} + 81^n = 3^{4n+1};$

б) $9^{3n} + 9^n \cdot 81^n + 27^{2n} = 3^{6n+1}.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для доказательства равенства $3^{4n} + 9^{2n} + 81^n = 3^{4n+1}$ преобразуем его левую часть. Представим числа 9 и 81 в виде степеней числа 3: $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$. Подставим эти значения в выражение: $3^{4n} + (3^2)^{2n} + (3^4)^n$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим: $3^{4n} + 3^{2 \cdot 2n} + 3^{4 \cdot n} = 3^{4n} + 3^{4n} + 3^{4n}$. Мы получили сумму трех одинаковых слагаемых, которую можно записать как $3 \cdot 3^{4n}$. Применяя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, имеем: $3^1 \cdot 3^{4n} = 3^{1+4n} = 3^{4n+1}$. Левая часть равенства равна правой, что и требовалось доказать. Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства равенства $9^{3n} + 9^n \cdot 81^n + 27^{2n} = 3^{6n+1}$ преобразуем левую часть. Представим все основания степеней (9, 81 и 27) как степени числа 3: $9 = 3^2$, $81 = 3^4$ и $27 = 3^3$. Подставим в левую часть: $(3^2)^{3n} + (3^2)^n \cdot (3^4)^n + (3^3)^{2n}$. Применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $3^{6n} + 3^{2n} \cdot 3^{4n} + 3^{6n}$. Для среднего слагаемого воспользуемся свойством $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $3^{2n} \cdot 3^{4n} = 3^{2n+4n} = 3^{6n}$. В результате все выражение принимает вид: $3^{6n} + 3^{6n} + 3^{6n}$. Это сумма трех одинаковых членов, равная $3 \cdot 3^{6n}$. Наконец, $3^1 \cdot 3^{6n} = 3^{1+6n} = 3^{6n+1}$. Таким образом, мы показали, что левая часть равна правой. Ответ: Равенство доказано.