Номер 895, страница 249 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Числовые и алгебраические выражения и их преобразования. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 895, страница 249.

Условие.

895. Рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

a) $\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{6}}{(\sqrt{26}-1)(\sqrt{26}+1)}$

б) $\sqrt{125} + (\sqrt{6})^2 - \sqrt{(-5)^2}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для того чтобы определить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным числом, необходимо его упростить.
Рассмотрим числитель дроби: $ (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 + 2\sqrt{6} $.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:
$ (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{6} = 2 - 2\sqrt{6} + 3 + 2\sqrt{6} $.
Приведем подобные слагаемые: $ (2+3) + (-2\sqrt{6} + 2\sqrt{6}) = 5 $.
Теперь рассмотрим знаменатель: $ (\sqrt{26} - 1)(\sqrt{26} + 1) $.
Применим формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:
$ (\sqrt{26})^2 - 1^2 = 26 - 1 = 25 $.
Таким образом, исходное выражение равно:
$ \frac{5}{25} = \frac{1}{5} $.
Число $ \frac{1}{5} $ (или 0,2) является рациональным, так как его можно представить в виде отношения двух целых чисел.
Ответ: рациональное число.

б) Упростим выражение $ \sqrt{125} + (\sqrt{6})^2 - \sqrt{(-5)^2} $, вычислив значение каждого его члена.
Первый член: $ \sqrt{125} $. Разложим подкоренное выражение на множители: $ 125 = 25 \cdot 5 $. Тогда $ \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5} $.
Второй член: $ (\sqrt{6})^2 $. По определению квадратного корня, $ (\sqrt{a})^2 = a $ (при $a \ge 0$), поэтому $ (\sqrt{6})^2 = 6 $.
Третий член: $ \sqrt{(-5)^2} $. Согласно свойству арифметического квадратного корня $ \sqrt{a^2} = |a| $, получаем $ \sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5 $.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$ 5\sqrt{5} + 6 - 5 = 5\sqrt{5} + 1 $.
Число $ \sqrt{5} $ является иррациональным. Произведение иррационального числа на рациональное (отличное от нуля) также является иррациональным числом. Сумма иррационального и рационального чисел всегда иррациональна. Следовательно, значение выражения $ 5\sqrt{5} + 1 $ является иррациональным числом.
Ответ: иррациональное число.