Номер 892, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

34. Упражнения на повторение раздела «Элементы теории вероятностей». V. Элементы теории вероятностей - номер 892, страница 247.

Условие.

892. 1A) Какие из следующих событий являются достоверными?

а) Произвольно взятое простое трехзначное число не больше 998.

б) Извлечение цветного шара из набора голубых и желтых шаров.

в) Три попадания в мишень из трех выстрелов.

г) Раскрытие парашюта при прыжке.

2A) Монета подбрасывается дважды. Какова вероятность того, что герб не выпадет?

3A) В равнобедренный треугольник с основанием 3 дм и боковой стороной 2,5 дм помещен равносторонний треугольник, площадь которого равна $2 \text{ дм}^2$. Какова вероятность того, что произвольно отмеченная точка равнобедренного треугольника принадлежит и равностороннему треугольнику?

4B) В таблице представлены сводные сведения о достижениях учащихся 9–11 классов в беге на 100 метров. Какова вероятность (в %) того, что случайно выбранный из них учащийся пробежал эту дистанцию не медленнее, чем за 14 секунд?

5C) Имеется 10 заданий, среди которых 4 – самые трудные. Путем жребия учащемуся предоставляется возможность выбрать для выполнения 5 заданий. Какова вероятность того, что ему достанется только одна трудная задача?

Решение.

Решение 2 (rus).

1А)

Достоверным называется событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Проанализируем каждое событие:

а) Произвольно взятое простое трехзначное число не больше 998. Трехзначные числа — это числа от 100 до 999. Самое большое трехзначное число — 999. Любое простое трехзначное число меньше 999. Число 999 не является простым, так как делится на 3, 9, 37 и др. Самое большое простое трехзначное число — это 997. Так как $997 \le 998$, то любое простое трехзначное число действительно не больше 998. Это событие является достоверным.

б) Извлечение цветного шара из набора голубых и желтых шаров. Голубой и желтый — это цвета. Следовательно, любой шар в этом наборе является цветным. Это событие является достоверным.

в) Три попадания в мишень из трех выстрелов. Это событие не является достоверным, так как возможен промах. Вероятность попадания, как правило, меньше 1.

г) Раскрытие парашюта при прыжке. Это событие не является достоверным, так как существует, хоть и малая, вероятность отказа техники.

Таким образом, достоверными являются события а) и б).

Ответ: а), б).

2А)

При двукратном подбрасывании монеты существует $2 \times 2 = 4$ равновероятных исхода. Обозначим выпадение герба буквой "Г", а решки — "Р".

Все возможные исходы:

1. ГГ (герб, герб)

2. ГР (герб, решка)

3. РГ (решка, герб)

4. РР (решка, решка)

Событие "герб не выпадет" означает, что оба раза выпадет решка. Этому условию соответствует только один исход — РР. Это и есть благоприятный исход.

Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $n$.

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{4} = 0,25$

Ответ: 0,25.

3А)

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность того, что точка, случайно выбранная в большей фигуре, окажется внутри меньшей фигуры, равна отношению площадей этих фигур.

$P = \frac{S_{внутр}}{S_{внешн}}$

Площадь внутреннего равностороннего треугольника дана: $S_{внутр} = 2 \text{ дм}^2$.

Найдем площадь внешнего равнобедренного треугольника. Дано основание $b = 3$ дм и боковая сторона $a = 2,5$ дм. Высота $h$, проведенная к основанию, делит его на два равных отрезка по $b/2 = 3/2 = 1,5$ дм. По теореме Пифагора найдем высоту:

$h = \sqrt{a^2 - (b/2)^2} = \sqrt{2,5^2 - 1,5^2} = \sqrt{6,25 - 2,25} = \sqrt{4} = 2$ дм.

Площадь равнобедренного треугольника:

$S_{внешн} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3 \text{ дм}^2$.

Теперь можем найти вероятность:

$P = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

4B)

Сначала найдем общее количество учащихся, участвовавших в забеге. Для этого сложим все значения из строки "Количество учащихся":

$N = 36 + 45 + 69 + 60 + 51 + 43 + 21 + 9 = 334$ учащихся.

Теперь найдем количество учащихся, которые пробежали дистанцию "не медленнее, чем за 14 секунд", то есть их результат был 14 секунд или меньше ($t \le 14$ сек). Это учащиеся с результатами 14; 13,8; 13,5; 13,1; 12,8 и 12,3 секунды.

$m = 69 + 60 + 51 + 43 + 21 + 9 = 253$ учащихся.

Вероятность $P$ того, что случайно выбранный учащийся пробежал дистанцию не медленнее, чем за 14 секунд, равна отношению числа таких учащихся к общему числу учащихся:

$P = \frac{m}{N} = \frac{253}{334}$

Чтобы выразить эту вероятность в процентах, умножим результат на 100% и округлим (например, до десятых):

$P(\%) = \frac{253}{334} \times 100\% \approx 0,75748... \times 100\% \approx 75,7\%$

Ответ: 75,7 %.

5С)

Это задача на комбинаторику. Общее число заданий — 10. Из них 4 трудные и $10 - 4 = 6$ обычные. Учащийся выбирает 5 заданий.

1. Найдем общее число способов выбрать 5 заданий из 10. Это число сочетаний $C_{10}^5$.

$n = C_{10}^5 = \binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 = 252$ способа.

2. Найдем число благоприятных исходов, то есть способов выбрать "только одну трудную задачу". Это означает, что из 4 трудных задач нужно выбрать 1, а из 6 обычных задач нужно выбрать оставшиеся $5 - 1 = 4$ задачи.

Число способов выбрать 1 трудную задачу из 4: $C_4^1 = \binom{4}{1} = 4$.

Число способов выбрать 4 обычные задачи из 6: $C_6^4 = \binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.

Общее число благоприятных исходов $m$ равно произведению этих двух чисел:

$m = C_4^1 \cdot C_6^4 = 4 \cdot 15 = 60$ способов.

3. Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{n} = \frac{60}{252}$

Сократим дробь. Оба числа делятся на 12:

$P = \frac{60 \div 12}{252 \div 12} = \frac{5}{21}$

Ответ: $\frac{5}{21}$.