Номер 885, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

34. Упражнения на повторение раздела «Элементы теории вероятностей». V. Элементы теории вероятностей - номер 885, страница 246.

Условие.

885. Асан, Бексултан, Гульдана, Дамеля случайным образом садятся за круглый стол. Какова вероятность того, что Бексултан и Дамеля окажутся рядом?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи можно использовать два основных подхода. Рассмотрим оба для полноты ответа.

Способ 1: Метод фиксации

Этот метод является наиболее простым и интуитивным для задач с рассадкой за круглым столом.

1. Зафиксируем положение одного из интересующих нас людей, например, Бексултана. Поскольку стол круглый и места изначально неразличимы, не имеет значения, какое именно место он займет. Это место мы будем считать отправной точкой.

2. После того как Бексултан сел, за столом осталось 3 свободных места. На эти места претендуют три оставшихся человека: Асан, Гульдана и Дамеля.

3. Нас интересует событие, при котором Дамеля окажется рядом с Бексултаном. Рядом с Бексултаном есть ровно два места: одно слева и одно справа. Это и есть "благоприятные" места для Дамели.

4. Вероятность того, что Дамеля случайным образом займет одно из этих двух благоприятных мест из трех доступных, вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.

Вероятность $P = \frac{\text{Количество благоприятных мест}}{\text{Общее количество свободных мест}} = \frac{2}{3}$.

Способ 2: Метод перестановок (комбинаторный)

Этот метод основан на подсчете общего числа возможных рассадок и числа благоприятных рассадок с помощью формул комбинаторики.

1. Найдем общее число $N$ всех возможных способов рассадить 4 человека за круглым столом. Формула для числа уникальных перестановок $n$ различных предметов по кругу: $(n-1)!$.

В нашем случае $n=4$, поэтому общее число способов рассадки:

$N = (4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

2. Теперь найдем число $m$ благоприятных исходов, то есть таких, при которых Бексултан и Дамеля сидят рядом. Для этого мы можем мысленно "склеить" Бексултана и Дамелю в один объект. Теперь нам нужно рассадить 3 "объекта" за круглым столом: (Бексултан-Дамеля), Асан и Гульдана.

Число способов рассадить эти 3 объекта за круглым столом равно $(3-1)! = 2! = 2$.

Однако внутри "склеенного" объекта Бексултан и Дамеля могут меняться местами (Бексултан слева, Дамеля справа, или наоборот). Это дает еще $2! = 2$ варианта для каждой рассадки.

Следовательно, общее число благоприятных исходов равно произведению этих двух значений:

$m = (3-1)! \times 2! = 2 \times 2 = 4$.

3. Вероятность $P$ события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $N$:

$P = \frac{m}{N} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: Вероятность того, что Бексултан и Дамеля окажутся рядом, равна $\frac{2}{3}$.