Номер 886, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

34. Упражнения на повторение раздела «Элементы теории вероятностей». V. Элементы теории вероятностей - номер 886, страница 246.

Условие.

886. В координатной плоскости построен круг радиуса 2 с центром в начале координат. Какова вероятность того, что наудачу взятая точка этого круга:

а) принадлежит первой координатной четверти;

б) с целочисленными координатами принадлежит биссектрисе первой координатной четверти?

Решение.

Решение 2 (rus).

Условие задачи предполагает два разных подхода к нахождению вероятности: геометрический (для непрерывного случая) и классический (для дискретного случая).

а) принадлежит первой координатной четверти;

В данном подпункте речь идет о наудачу взятой точке из всей площади круга. Это задача на геометрическую вероятность. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае площади) благоприятствующего множества к мере всего пространства исходов.

1. Найдем площадь всего пространства исходов — это площадь круга радиусом $R=2$ с центром в начале координат. Формула площади круга: $S = \pi R^2$.

$S = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

2. Найдем площадь благоприятствующего множества. Благоприятный исход — это попадание точки в первую координатную четверть ($x \ge 0, y \ge 0$). Поскольку круг центрирован в начале координат, он симметричен относительно осей, и на каждую из четырех четвертей приходится одинаковая его часть.

Площадь части круга, находящейся в первой четверти ($S_{благопр}$), составляет $\frac{1}{4}$ от общей площади.

$S_{благопр} = \frac{1}{4} S = \frac{1}{4} \cdot 4\pi = \pi$.

3. Вычислим искомую вероятность $P(A)$ как отношение площадей:

$P(A) = \frac{S_{благопр}}{S} = \frac{\pi}{4\pi} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) с целочисленными координатами принадлежит биссектрисе первой координатной четверти?

Здесь пространство исходов — это не все точки круга, а только те, что имеют целочисленные координаты. Это задача на классическое определение вероятности, где вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

1. Найдем общее число исходов $N$. Это количество точек с целочисленными координатами $(x, y)$, которые лежат внутри круга или на его границе. Условие принадлежности кругу: $x^2 + y^2 \le R^2$, то есть $x^2 + y^2 \le 4$.

Переберем возможные целые значения $x$:

- Если $x=0$, то $y^2 \le 4$. Целые $y$: -2, -1, 0, 1, 2. Это 5 точек: (0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2).

- Если $x=1$, то $1+y^2 \le 4 \implies y^2 \le 3$. Целые $y$: -1, 0, 1. Это 3 точки: (1, -1), (1, 0), (1, 1).

- Если $x=-1$, то $1+y^2 \le 4 \implies y^2 \le 3$. Целые $y$: -1, 0, 1. Это 3 точки: (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1).

- Если $x=2$, то $4+y^2 \le 4 \implies y^2 \le 0$. Целый $y$: 0. Это 1 точка: (2, 0).

- Если $x=-2$, то $4+y^2 \le 4 \implies y^2 \le 0$. Целый $y$: 0. Это 1 точка: (-2, 0).

Общее число точек с целочисленными координатами: $N = 5 + 3 + 3 + 1 + 1 = 13$.

2. Найдем число благоприятных исходов $m$. Это точки из найденных 13, которые лежат на биссектрисе первой координатной четверти. Уравнение этой биссектрисы — $y=x$, при условии $x \ge 0, y \ge 0$.

Проверим наши 13 точек на соответствие этим условиям:

- (0, 0): $y=x$, $x \ge 0$. Подходит.

- (1, 1): $y=x$, $x \ge 0$. Подходит.

Другие точки, например (2,2), не принадлежат кругу, так как $2^2 + 2^2 = 8 > 4$.

Число благоприятных исходов $m=2$.

3. Вычислим искомую вероятность $P(B)$:

$P(B) = \frac{m}{N} = \frac{2}{13}$.

Ответ: $\frac{2}{13}$.