Номер 891, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

34. Упражнения на повторение раздела «Элементы теории вероятностей». V. Элементы теории вероятностей - номер 891, страница 246.

Условие.

891. В партии 200 деталей, из которых 8 с дефектами. Какова вероятность того, что из 3 случайно выбранных деталей 1 с дефектом?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

В партии находится 200 деталей, из которых 8 являются дефектными, а $200 - 8 = 192$ — бездефектными. Нам нужно найти вероятность того, что при случайном выборе 3 деталей, ровно 1 из них окажется дефектной, а 2 — бездефектными.

Общее число способов выбрать 3 любые детали из 200 равно числу сочетаний из 200 по 3. Это общее число исходов $N$.

$N = C_{200}^3 = \frac{200!}{3!(200-3)!} = \frac{200 \cdot 199 \cdot 198}{3 \cdot 2 \cdot 1}$.

Число благоприятных исходов $M$ — это количество способов выбрать 1 дефектную деталь из 8 и 2 бездефектные детали из 192. Согласно правилу произведения в комбинаторике, это число равно:

$M = C_8^1 \cdot C_{192}^2 = \frac{8!}{1!(8-1)!} \cdot \frac{192!}{2!(192-2)!} = 8 \cdot \frac{192 \cdot 191}{2 \cdot 1}$.

Вероятность искомого события $P$ равна отношению числа благоприятных исходов $M$ к общему числу исходов $N$:

$P = \frac{M}{N} = \frac{C_8^1 \cdot C_{192}^2}{C_{200}^3} = \frac{8 \cdot \frac{192 \cdot 191}{2}}{\frac{200 \cdot 199 \cdot 198}{6}}$.

Упростим полученное выражение, перевернув знаменатель:

$P = \frac{8 \cdot 192 \cdot 191}{2} \cdot \frac{6}{200 \cdot 199 \cdot 198} = \frac{8 \cdot 192 \cdot 191 \cdot 3}{200 \cdot 199 \cdot 198}$.

Теперь выполним сокращение дроби:

$P = \frac{8}{200} \cdot \frac{192}{198} \cdot \frac{3 \cdot 191}{199}$.

Сократим первую дробь $\frac{8}{200}$ на 8, получим $\frac{1}{25}$.

Сократим вторую дробь $\frac{192}{198}$ на 6, получим $\frac{32}{33}$.

Подставим сокращенные дроби обратно в выражение:

$P = \frac{1}{25} \cdot \frac{32}{33} \cdot \frac{3 \cdot 191}{199} = \frac{1}{25} \cdot \frac{32}{3 \cdot 11} \cdot \frac{3 \cdot 191}{199}$.

Сократим на 3:

$P = \frac{32 \cdot 191}{25 \cdot 11 \cdot 199} = \frac{6112}{275 \cdot 199} = \frac{6112}{54725}$.

Приближенное значение вероятности составляет $P \approx 0.112$.

Ответ: $\frac{6112}{54725}$.