Найдите в интернете, страница 248 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

34. Упражнения на повторение раздела «Элементы теории вероятностей». V. Элементы теории вероятностей - страница 248.

Условие.

Найдите в Интернете задачу о вероятности выпадения очков при бросании игральной кости и ее решение, которое предложил Б. Паскаль одному из игроков по его просьбе.

Решение 2 (rus).

Эта задача известна как «задача де Мере» или «парадокс де Мере». В XVII веке французский азартный игрок, кавалер Антуан Гомбо де Мере, обратился к выдающемуся ученому Блезу Паскалю с вопросом, который возник у него из-за расхождения между его теоретическими расчетами и реальными результатами в игре в кости. Паскаль, в свою очередь, обсудил эту проблему в переписке с Пьером де Ферма, что стало одним из ключевых моментов в зарождении теории вероятностей.

Задача, поставленная де Мере:

Кавалер де Мере сделал два наблюдения, которые казались ему противоречивыми:

1. Делая ставку на то, что при четырех бросках одной игральной кости хотя бы раз выпадет шестерка, он чаще выигрывал.
2. Делая ставку на то, что при 24 бросках двух игральных костей хотя бы раз выпадет пара шестерок (две шестерки одновременно), он чаще проигрывал.

Де Мере рассуждал так: в первом случае вероятность выпадения шестерки при одном броске равна $1/6$. За 4 броска шанс, как он считал, должен быть $4 \times (1/6) = 4/6 = 2/3$. Во втором случае шанс выпадения двух шестерок при одном броске равен $1/36$. За 24 броска шанс, по его логике, должен быть $24 \times (1/36) = 24/36 = 2/3$. Поскольку в обоих случаях получалось одно и то же соотношение (2/3), он ожидал, что и шансы на выигрыш будут одинаковыми, но игровая практика показывала обратное.

Решение, которое предложил Блез Паскаль:

Паскаль показал, что прямое умножение вероятности на число попыток является неверным подходом. Правильный метод — вычислить вероятность противоположного события (т.е. что желаемый исход не наступит ни разу) и вычесть ее из единицы. Вероятность наступления события А хотя бы один раз за $n$ испытаний вычисляется по формуле $P(A) = 1 - q^n$, где $q$ — это вероятность того, что событие А не произойдет в одном испытании.

1. Расчет для первого случая (одна кость, 4 броска)

Вероятность выпадения шестерки при одном броске равна $1/6$.
Вероятность того, что шестерка не выпадет при одном броске, равна $q = 1 - 1/6 = 5/6$.
Вероятность того, что шестерка не выпадет ни разу за 4 броска, равна $q^4 = (5/6)^4$.
$$(5/6)^4 = 5^4 / 6^4 = 625 / 1296 \approx 0.4823$$
Следовательно, вероятность того, что шестерка выпадет хотя бы один раз, равна:
$$P_1 = 1 - (5/6)^4 = 1 - 625/1296 = 671/1296 \approx 0.5177$$
Поскольку эта вероятность больше $0.5$ (т.е. больше 50%), ставка является выгодной.

2. Расчет для второго случая (две кости, 24 броска)

При броске двух костей общее число равновозможных исходов равно $6 \times 6 = 36$.
Выпадение двух шестерок — это один из этих 36 исходов, поэтому его вероятность равна $1/36$.
Вероятность того, что две шестерки не выпадут при одном броске, равна $q = 1 - 1/36 = 35/36$.
Вероятность того, что пара шестерок не выпадет ни разу за 24 броска, равна $q^{24} = (35/36)^{24}$.
$$(35/36)^{24} \approx 0.5086$$
Следовательно, вероятность того, что пара шестерок выпадет хотя бы один раз, равна:
$$P_2 = 1 - (35/36)^{24} \approx 1 - 0.5086 = 0.4914$$
Эта вероятность меньше $0.5$ (т.е. меньше 50%), поэтому данная ставка является невыгодной.

Ответ: Блез Паскаль с помощью точного математического расчета показал, что интуиция кавалера де Мере была верна, а его собственные расчеты — ошибочны. Вероятность выиграть первую ставку (хотя бы одна шестерка за 4 броска) составляет примерно 51.8%, что делает ее выгодной. Вероятность выиграть вторую ставку (хотя бы одна пара шестерок за 24 броска) составляет примерно 49.1%, что делает ее невыгодной. Это и объясняло, почему де Мере выигрывал в первом случае и проигрывал во втором.