Занимательные задачи 1, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

34. Упражнения на повторение раздела «Элементы теории вероятностей». V. Элементы теории вероятностей - страница 247.

Условие.

1) На обратной стороне карточки записано двузначное число. Какова вероятность угадать, что сумма его цифр равна пяти?

Решение.

Решение 2 (rus).

Верно ли неравенство $(1 + a)^n \ge 1 + na$, где $a\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}$? Нет, данное неравенство неверно в общем случае для всех действительных $a$. Чтобы это доказать, достаточно привести один контрпример. Возьмем $a = -4$ и $n = 3$.
Подставим эти значения в левую часть неравенства:
$(1 + a)^n = (1 + (-4))^3 = (-3)^3 = -27$.
Теперь подставим их в правую часть:
$1 + na = 1 + 3 \cdot (-4) = 1 - 12 = -11$.
В результате мы получаем ложное неравенство $-27 \ge -11$. Следовательно, утверждение, что $(1 + a)^n \ge 1 + na$ верно для любых $a \in \mathbb{R}$ и $n \in \mathbb{N}$, является неверным.
Ответ: Нет, неверно.

Если неверно, то в чем ошибся Макар? Ошибка в рассуждениях Макара находится в пункте 3 (индукционный переход). При доказательстве шага от $n=k$ к $n=k+1$, он умножает обе части неравенства $(1 + a)^k \ge 1 + ka$ (которое предполагается верным) на множитель $(1+a)$. В результате он получает $(1 + a)^k \cdot (1 + a) \ge (1 + ka) \cdot (1 + a)$.
Однако, эта операция (умножение обеих частей неравенства на число с сохранением знака неравенства) является корректной только в том случае, если множитель неотрицателен, то есть $(1+a) \ge 0$. Макар не рассмотрел случай, когда $(1+a) < 0$ (что соответствует $a < -1$). В этом случае при умножении на отрицательное число знак неравенства должен измениться на противоположный. Именно из-за этого упущения его доказательство оказывается неверным для $a < -1$, а само обобщенное неравенство не выполняется.
Ответ: Ошибка заключается в том, что при выполнении индукционного перехода Макар умножил неравенство на $(1+a)$, не учтя, что это выражение может быть отрицательным (при $a < -1$), что требует изменения знака неравенства на противоположный.