Номер 889, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

34. Упражнения на повторение раздела «Элементы теории вероятностей». V. Элементы теории вероятностей - номер 889, страница 246.

Условие.

889. Ержан запоминает одну из вершин выпуклого восьмиугольника. Зарина проводит диагональ этого восьмиугольника. Какова вероятность того, что одним из концов этой диагонали будет вершина, которую запомнил Ержан?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи по теории вероятностей необходимо найти отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновероятных исходов.

1. Найдём общее число возможных исходов
Общим числом исходов является общее количество диагоналей в выпуклом восьмиугольнике. Количество диагоналей $N$ в многоугольнике с $n$ вершинами можно вычислить по формуле:
$N = \frac{n(n-3)}{2}$
В нашем случае имеем восьмиугольник, то есть $n=8$. Подставим это значение в формулу:
$N = \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$
Таким образом, всего в выпуклом восьмиугольнике 20 диагоналей. Это и есть общее число возможных исходов, так как Зарина проводит одну случайную диагональ.

2. Найдём число благоприятных исходов
Благоприятным исходом является событие, при котором одним из концов проведенной диагонали оказывается вершина, которую запомнил Ержан.
Пусть Ержан запомнил одну конкретную вершину. Найдём, сколько диагоналей можно провести из этой вершины. Диагональ соединяет вершину с любой другой вершиной, кроме неё самой и двух соседних. Следовательно, из каждой вершины $n$-угольника можно провести $n-3$ диагонали.
Для восьмиугольника ($n=8$) количество диагоналей, исходящих из одной вершины, равно:
$m = 8 - 3 = 5$
Это и есть число благоприятных исходов.

3. Вычислим вероятность
Вероятность $P$ события равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу возможных исходов $N$:
$P = \frac{m}{N}$
Подставим найденные значения:
$P = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$
Вероятность также можно выразить в виде десятичной дроби: $0.25$.

Ответ: $\frac{1}{4}$