Номер 900, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Числовые и алгебраические выражения и их преобразования. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 900, страница 250.

Условие.

900. Докажите, что:

а) $8^5 + 4^7$ делится на 12;

б) $8^4 - 4^5$ делится на 24;

в) $4n^3 - 4n + 6$ делится на 3 при любом $n \in \mathbb{Z}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для доказательства делимости выражения $8^5 + 4^7$ на 12, докажем его делимость на 3 и 4, так как $12 = 3 \times 4$ и эти числа взаимно простые.

Представим слагаемые в виде степеней двойки:

$8^5 + 4^7 = (2^3)^5 + (2^2)^7 = 2^{15} + 2^{14}$

Вынесем за скобки общий множитель $2^{14}$:

$2^{14}(2^1 + 1) = 2^{14} \cdot 3$

Проанализируем полученное выражение:

1. Делимость на 3: Выражение $2^{14} \cdot 3$ содержит множитель 3, следовательно, оно делится на 3.

2. Делимость на 4: Выражение $2^{14} \cdot 3$ можно представить как $2^2 \cdot 2^{12} \cdot 3 = 4 \cdot (2^{12} \cdot 3)$, что доказывает его делимость на 4.

Так как выражение делится и на 3, и на 4, оно делится и на их произведение, равное 12.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Для доказательства делимости выражения $8^4 - 4^5$ на 24, докажем его делимость на 3 и 8, так как $24 = 3 \times 8$ и эти числа взаимно простые.

Представим слагаемые в виде степеней двойки:

$8^4 - 4^5 = (2^3)^4 - (2^2)^5 = 2^{12} - 2^{10}$

Вынесем за скобки общий множитель $2^{10}$:

$2^{10}(2^2 - 1) = 2^{10}(4 - 1) = 2^{10} \cdot 3$

Проанализируем полученное выражение:

1. Делимость на 3: Выражение $2^{10} \cdot 3$ содержит множитель 3, следовательно, оно делится на 3.

2. Делимость на 8: Выражение $2^{10} \cdot 3$ можно представить как $2^3 \cdot 2^7 \cdot 3 = 8 \cdot (2^7 \cdot 3)$, что доказывает его делимость на 8.

Так как выражение делится и на 3, и на 8, оно делится и на их произведение, равное 24.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в)

Нужно доказать, что выражение $4n^3 - 4n + 6$ делится на 3 при любом целом $n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем выражение, вынеся 4 за скобки у первых двух слагаемых:

$4n^3 - 4n + 6 = 4(n^3 - n) + 6$

Слагаемое 6 делится на 3. Значит, вся сумма будет делиться на 3, если слагаемое $4(n^3 - n)$ также делится на 3.

Так как 4 не делится на 3, для этого необходимо, чтобы выражение $n^3 - n$ делилось на 3.

Разложим $n^3 - n$ на множители:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)$

Выражение $(n-1)n(n+1)$ является произведением трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3.

Действительно, при делении на 3 целое число $n$ может давать остаток 0, 1 или 2:

1. Если остаток 0, то $n$ делится на 3.

2. Если остаток 1, то $n-1$ делится на 3.

3. Если остаток 2, то $n+1$ делится на 3.

В любом случае один из множителей $(n-1), n$ или $(n+1)$ делится на 3, а значит и все произведение делится на 3. Следовательно, $n^3-n$ всегда делится на 3.

Поскольку $n^3-n$ делится на 3, то и $4(n^3-n)$ делится на 3. А так как оба слагаемых в сумме $4(n^3 - n) + 6$ делятся на 3, то и вся сумма делится на 3 при любом целом $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.