Номер 906, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Числовые и алгебраические выражения и их преобразования. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 906, страница 250.

Условие.

906. Произведение двух положительных чисел равно их среднему арифметическому ($ab = \frac{a+b}{2}$), а разность этих чисел равна 1 ($a - b = 1$). Найдите эти числа.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть искомые положительные числа – это $x$ и $y$. Согласно условию задачи, можно составить систему уравнений.
Первое условие: разность этих чисел равна 1. Предположим, что $x > y$, тогда:
$x - y = 1$
Второе условие: произведение этих чисел равно их среднему арифметическому:
$x \cdot y = \frac{x + y}{2}$
Из первого уравнения выразим $x$:
$x = y + 1$
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$(y + 1) \cdot y = \frac{(y + 1) + y}{2}$
Теперь решим полученное уравнение относительно $y$:
$y^2 + y = \frac{2y + 1}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$2(y^2 + y) = 2y + 1$
$2y^2 + 2y = 2y + 1$
Вычтем $2y$ из обеих частей уравнения:
$2y^2 = 1$
$y^2 = \frac{1}{2}$
Поскольку по условию числа положительные, мы берем только положительный корень:
$y = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Теперь найдем $x$, используя ранее полученное выражение $x = y + 1$:
$x = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$
Таким образом, мы нашли два искомых числа.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.