Номер 910, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Числовые и алгебраические выражения и их преобразования. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 910, страница 251.

Условие.

910. Выполните действия:

а) $\frac{5^4 \cdot 9^2 - 3 \cdot 15^2}{45^2 + 15^3}$

б) $\frac{5,3^2 - 4,7^2}{5,3^2 + 10,6 \cdot 4,7 + 4,7^2}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Рассмотрим выражение: $ \frac{5^4 \cdot 9^2 - 3 \cdot 15^2}{45^2 + 15^3} $

Для упрощения преобразуем числитель и знаменатель, представив их члены через степени числа 15.

Сначала преобразуем числитель. Заметим, что $5^4 \cdot 9^2 = 5^4 \cdot (3^2)^2 = 5^4 \cdot 3^4 = (5 \cdot 3)^4 = 15^4$. Тогда числитель можно записать в виде: $ 15^4 - 3 \cdot 15^2 $ Вынесем общий множитель $15^2$ за скобки: $ 15^2 \cdot (15^2 - 3) = 15^2 \cdot (225 - 3) = 15^2 \cdot 222 $.

Теперь преобразуем знаменатель. Заметим, что $45 = 3 \cdot 15$, следовательно $45^2 = (3 \cdot 15)^2 = 9 \cdot 15^2$. Тогда знаменатель можно записать в виде: $ 9 \cdot 15^2 + 15^3 $ Вынесем общий множитель $15^2$ за скобки: $ 15^2 \cdot (9 + 15) = 15^2 \cdot 24 $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь: $ \frac{15^2 \cdot 222}{15^2 \cdot 24} $

Сократим дробь на общий множитель $15^2$: $ \frac{222}{24} $

Далее сократим полученную дробь. Оба числа, 222 и 24, делятся на 6: $ \frac{222 \div 6}{24 \div 6} = \frac{37}{4} $. Переведем дробь в десятичный вид: $ \frac{37}{4} = 9,25 $.

Ответ: $9,25$

б)

Рассмотрим выражение: $ \frac{5,3^2 - 4,7^2}{5,3^2 + 10,6 \cdot 4,7 + 4,7^2} $

Для решения этого примера воспользуемся формулами сокращенного умножения.

В числителе дроби находится выражение, соответствующее формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Применим эту формулу, где $a = 5,3$ и $b = 4,7$: $ 5,3^2 - 4,7^2 = (5,3 - 4,7)(5,3 + 4,7) = 0,6 \cdot 10 = 6 $.

В знаменателе дроби находится выражение, которое можно преобразовать. Заметим, что $10,6 = 2 \cdot 5,3$. Тогда знаменатель можно записать как: $ 5,3^2 + (2 \cdot 5,3) \cdot 4,7 + 4,7^2 = 5,3^2 + 2 \cdot 5,3 \cdot 4,7 + 4,7^2 $. Это выражение соответствует формуле квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. Применим эту формулу, где $a = 5,3$ и $b = 4,7$: $ (5,3 + 4,7)^2 = 10^2 = 100 $.

Теперь подставим вычисленные значения числителя и знаменателя в исходную дробь: $ \frac{6}{100} $.

Представим полученную дробь в виде десятичного числа: $ \frac{6}{100} = 0,06 $.

Ответ: $0,06$