Номер 917, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Числовые и алгебраические выражения и их преобразования. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 917, страница 251.

Условие.

917. Используя метод математической индукции, докажите, что при любом $n \in N$ значение выражения $4n^3 + 8n + 3$ делится на 3.

Решение.

Решение 2 (rus).

Докажем утверждение, что при любом $n \in N$ значение выражения $4n^3 + 8n + 3$ делится на 3, используя метод математической индукции.

1. База индукции

Проверим утверждение для наименьшего натурального числа $n=1$.

При $n=1$ значение выражения равно: $4 \cdot 1^3 + 8 \cdot 1 + 3 = 4 + 8 + 3 = 15$.

Число 15 делится на 3 ($15 = 3 \cdot 5$), следовательно, база индукции верна.

2. Индукционное предположение

Предположим, что для некоторого натурального числа $k$ утверждение верно, то есть выражение $4k^3 + 8k + 3$ делится на 3. Это означает, что существует такое целое число $m$, для которого выполняется равенство $4k^3 + 8k + 3 = 3m$.

3. Индукционный шаг

Докажем, что из верности утверждения для $n=k$ следует его верность для $n=k+1$. Для этого нужно показать, что выражение $4(k+1)^3 + 8(k+1) + 3$ также делится на 3.

Преобразуем выражение для $n=k+1$:

$4(k+1)^3 + 8(k+1) + 3 = 4(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 8k + 8 + 3$

$= 4k^3 + 12k^2 + 12k + 4 + 8k + 8 + 3$

$= 4k^3 + 12k^2 + 20k + 15$

Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить выражение, которое по нашему предположению делится на 3:

$= (4k^3 + 8k + 3) + 12k^2 + 12k + 12$

Рассмотрим полученную сумму. Первое слагаемое, $(4k^3 + 8k + 3)$, делится на 3 согласно индукционному предположению. Оставшаяся часть суммы, $12k^2 + 12k + 12$, также делится на 3, так как ее можно представить в виде $3(4k^2 + 4k + 4)$.

Таким образом, всё выражение для $n=k+1$ является суммой двух слагаемых, каждое из которых делится на 3. Следовательно, и сама сумма делится на 3.

Индукционный шаг доказан. Поскольку база индукции верна и индукционный шаг доказан, по принципу математической индукции исходное утверждение верно для любого натурального числа $n$.

Ответ: что и требовалось доказать.