Номер 922, страница 252 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Уравнения, неравенства и их системы. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 922, страница 252.

Условие.

922. Решите уравнение:

a) $\frac{5x^2 - x}{x} = 1$;

б) $\frac{x^2 - x}{x - 3} = \frac{6}{x - 3}$;

в) $\frac{5}{2 + 3x} + \frac{3x}{3x - 2} = \frac{8}{9x^2 - 4}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Исходное уравнение: $ \frac{5x^2 - x}{x} = 1 $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя:

$5x^2 - x = 1 \cdot x$

$5x^2 - x = x$

Перенесем все члены в левую часть:

$5x^2 - x - x = 0$

$5x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два возможных решения:

1) $x = 0$

2) $5x - 2 = 0 \implies 5x = 2 \implies x = \frac{2}{5}$

Проверим полученные корни по ОДЗ. Корень $x=0$ не удовлетворяет условию $x \neq 0$, поэтому он является посторонним. Корень $x = \frac{2}{5}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ \frac{2}{5} $

б)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2 - x}{x - 3} = \frac{6}{x - 3} $.

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их числители (при условии, что $x$ входит в ОДЗ):

$x^2 - x = 6$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 1, а их произведение равно -6. Подбором находим корни:

$x_1 = 3$

$x_2 = -2$

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $x \neq 3$, значит, это посторонний корень. Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2

в)

Исходное уравнение: $ \frac{5}{2 + 3x} + \frac{3x}{3x - 2} = \frac{8}{9x^2 - 4} $.

ОДЗ: все знаменатели должны быть не равны нулю.

1) $2 + 3x \neq 0 \implies 3x \neq -2 \implies x \neq -\frac{2}{3}$

2) $3x - 2 \neq 0 \implies 3x \neq 2 \implies x \neq \frac{2}{3}$

3) $9x^2 - 4 \neq 0$. Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: $(3x)^2 - 2^2 = (3x - 2)(3x + 2)$. Значит, $(3x - 2)(3x + 2) \neq 0$, что дает те же ограничения: $x \neq \frac{2}{3}$ и $x \neq -\frac{2}{3}$.

Общий знаменатель для всех дробей: $9x^2 - 4 = (3x - 2)(3x + 2)$. Приведем все дроби к общему знаменателю.

$ \frac{5(3x - 2)}{(3x + 2)(3x - 2)} + \frac{3x(3x + 2)}{(3x - 2)(3x + 2)} = \frac{8}{(3x - 2)(3x + 2)} $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(3x - 2)(3x + 2)$, при условии $x \neq \pm \frac{2}{3}$:

$5(3x - 2) + 3x(3x + 2) = 8$

Раскроем скобки:

$15x - 10 + 9x^2 + 6x = 8$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде:

$9x^2 + (15x + 6x) - 10 - 8 = 0$

$9x^2 + 21x - 18 = 0$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:

$3x^2 + 7x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = \frac{2}{3}$ не удовлетворяет условию $x \neq \frac{2}{3}$, поэтому является посторонним. Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -3